[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- ares41
- Użytkownik
- Posty: 6499
- Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 142 razy
- Pomógł: 922 razy
[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory
1. Znaleźć największą liczbę całkowitą \(\displaystyle{ A}\), taką, że dla każdej permutacji zbioru liczb naturalnych nie większych od \(\displaystyle{ 100}\) suma pewnych \(\displaystyle{ 10}\) kolejnych wyrazów jest co najmniej równa \(\displaystyle{ A}\).
2. Niech \(\displaystyle{ X_n \text{ i } Y_n}\) będą niezależnymi zdarzeniami losowymi o tym samym rozkładzie:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( \frac{k}{2^n}, \frac{1}{2^n} \right) : k=0,1,...,2^{n-1} \right\}}\)
Oznaczamy przez \(\displaystyle{ p_n}\) prawdopodobieństwo zdarzenia, że istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ t}\) spełniająca równanie \(\displaystyle{ t^2+X_n \cdot t+Y_n=0}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } p_n}\).
3. Łososie płynąc w górę rzeki muszą pokonać dwa wodospady. Prawdopodobieństwo, że łosoś pokona pierwszy wodospad w danej próbie, wynosi \(\displaystyle{ p>0}\), a prawdopodobieństwo pokonania drugiego wodospadu w danej próbie wynosi \(\displaystyle{ q>0}\). Zakładamy, że kolejne próby forsowania wodospadów są niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo, że łosoś nie przebędzie pierwszego wodospadu w \(\displaystyle{ n}\) próbach pod warunkiem, że w \(\displaystyle{ n}\) próbach nie pokona obu wodospadów.
4. Dla ustalonej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\) określamy:
\(\displaystyle{ x_1=n, \ \ y_1=1, \ \ x_{i+1}= \left[ \frac{1}{2}(x_i+y_i) \right], \ \ y_{i+1}= \left[ \frac{n}{x_{i+1}} \right]}\).
Dowieść, że \(\displaystyle{ \text{min}\{x_1, x_2,...,x_n\}=\left[\sqrt{n} \right]}\)
5. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej w zbiorze liczb rzeczywistych następujacym wzorem
\(\displaystyle{ f(t)= \sum_{i=1}^{n} \frac{ \sqrt{|x_i-t|} }{2^i}}\)
6. Doświadczenie polega na wykonaniu \(\displaystyle{ n}\) niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w \(\displaystyle{ \text{i-tej}}\) próbie wynosi \(\displaystyle{ p_i}\). Niech \(\displaystyle{ r_k}\) będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie \(\displaystyle{ k}\) prób da wynik pozytywny. udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}p_i= \sum_{k=0}^{n}kr_k}\)
7. Na płaszczyźnie dany jest zbiór \(\displaystyle{ M}\) punktów o następujących własnościach:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Punkty zbioru \(\displaystyle{ M}\) nie leżą na jednej prostej.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Jeżeli punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) są wierzchołkami równoległoboku oraz \(\displaystyle{ A,B,C \in M}\) to \(\displaystyle{ D \in M}\)
\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) Jeżeli \(\displaystyle{ A,B \in M}\), to \(\displaystyle{ AB \ge 1}\)
Udowodnić, że istnieją takie dwie rodziny prostych równoległych, że \(\displaystyle{ M}\) jest zbiorem przecięcia wszystkich punktów przecięcia prostych pierwszej rodziny z prostymi drugiej rodziny.
8. Prostopadłościenne pudełko można całkowicie wypełnić sześcianami jednostkowymi. Jeżeli będziemy umieszczać w nim sześciany o objętości \(\displaystyle{ 2}\) i krawędziach równoległych do krawędzi pudełka, to maksymalna liczba takich sześcianów wypełni tylko \(\displaystyle{ 40\%}\) pudełka. Wyznaczyć wymiary wewnętrzne tego pudełka.
9. Dowieść, że suma kwadratów wzajemnych odległości \(\displaystyle{ n}\) punktów na sferze jednostkowej nie przekracza \(\displaystyle{ n^2}\)
10 Dla danego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) obliczyć liczbę liczb całkowitych \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 1;n \right]}\), dla których \(\displaystyle{ x^3-x}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ \hline}\)
Uwagi dotyczące zadań proszę kierować na PW
2. Niech \(\displaystyle{ X_n \text{ i } Y_n}\) będą niezależnymi zdarzeniami losowymi o tym samym rozkładzie:
\(\displaystyle{ \left\{ \left( \frac{k}{2^n}, \frac{1}{2^n} \right) : k=0,1,...,2^{n-1} \right\}}\)
Oznaczamy przez \(\displaystyle{ p_n}\) prawdopodobieństwo zdarzenia, że istnieje liczba rzeczywista \(\displaystyle{ t}\) spełniająca równanie \(\displaystyle{ t^2+X_n \cdot t+Y_n=0}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } p_n}\).
3. Łososie płynąc w górę rzeki muszą pokonać dwa wodospady. Prawdopodobieństwo, że łosoś pokona pierwszy wodospad w danej próbie, wynosi \(\displaystyle{ p>0}\), a prawdopodobieństwo pokonania drugiego wodospadu w danej próbie wynosi \(\displaystyle{ q>0}\). Zakładamy, że kolejne próby forsowania wodospadów są niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo, że łosoś nie przebędzie pierwszego wodospadu w \(\displaystyle{ n}\) próbach pod warunkiem, że w \(\displaystyle{ n}\) próbach nie pokona obu wodospadów.
4. Dla ustalonej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\) określamy:
\(\displaystyle{ x_1=n, \ \ y_1=1, \ \ x_{i+1}= \left[ \frac{1}{2}(x_i+y_i) \right], \ \ y_{i+1}= \left[ \frac{n}{x_{i+1}} \right]}\).
Dowieść, że \(\displaystyle{ \text{min}\{x_1, x_2,...,x_n\}=\left[\sqrt{n} \right]}\)
5. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej w zbiorze liczb rzeczywistych następujacym wzorem
\(\displaystyle{ f(t)= \sum_{i=1}^{n} \frac{ \sqrt{|x_i-t|} }{2^i}}\)
6. Doświadczenie polega na wykonaniu \(\displaystyle{ n}\) niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w \(\displaystyle{ \text{i-tej}}\) próbie wynosi \(\displaystyle{ p_i}\). Niech \(\displaystyle{ r_k}\) będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie \(\displaystyle{ k}\) prób da wynik pozytywny. udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}p_i= \sum_{k=0}^{n}kr_k}\)
7. Na płaszczyźnie dany jest zbiór \(\displaystyle{ M}\) punktów o następujących własnościach:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) Punkty zbioru \(\displaystyle{ M}\) nie leżą na jednej prostej.
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) Jeżeli punkty \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) są wierzchołkami równoległoboku oraz \(\displaystyle{ A,B,C \in M}\) to \(\displaystyle{ D \in M}\)
\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) Jeżeli \(\displaystyle{ A,B \in M}\), to \(\displaystyle{ AB \ge 1}\)
Udowodnić, że istnieją takie dwie rodziny prostych równoległych, że \(\displaystyle{ M}\) jest zbiorem przecięcia wszystkich punktów przecięcia prostych pierwszej rodziny z prostymi drugiej rodziny.
8. Prostopadłościenne pudełko można całkowicie wypełnić sześcianami jednostkowymi. Jeżeli będziemy umieszczać w nim sześciany o objętości \(\displaystyle{ 2}\) i krawędziach równoległych do krawędzi pudełka, to maksymalna liczba takich sześcianów wypełni tylko \(\displaystyle{ 40\%}\) pudełka. Wyznaczyć wymiary wewnętrzne tego pudełka.
9. Dowieść, że suma kwadratów wzajemnych odległości \(\displaystyle{ n}\) punktów na sferze jednostkowej nie przekracza \(\displaystyle{ n^2}\)
10 Dla danego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) obliczyć liczbę liczb całkowitych \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 1;n \right]}\), dla których \(\displaystyle{ x^3-x}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ n}\).
\(\displaystyle{ \hline}\)
Uwagi dotyczące zadań proszę kierować na PW
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11403
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11403
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[MIX] Kilka zadań na deszczowe wieczory
Quote
4. Dla ustalonej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \ge 2}\) określamy:
\(\displaystyle{ x_1=n, \ \ y_1=1, \ \ x_{i+1}= \left[ \frac{1}{2}(x_i+y_i) \right], \ \ y_{i+1}= \left[ \frac{n}{x_{i+1}} \right]}\).
Dowieść, że \(\displaystyle{ \text{min}\{x_1, x_2,...,x_n\}=\left[\sqrt{n} \right]}\)
Ukryta treść:
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11403
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy