Przyspieszenie liniowe szpulki, bryła sztywna

ania444 · Post autor: **ania444** » 28 mar 2016, o 15:42

Cześć, nie mogę zrozumieć jak ułożyć równanie z momentami sił w tej sytuacji:

Na szpulkę o masie \(\displaystyle{ m = 0,01 kg}\) i promieniach \(\displaystyle{ r = 2 cm, R = 8 cm}\), oraz momencie bezwładności \(\displaystyle{ I = 6 \cdot 10 ^{-6} kg \cdot m ^{2}}\), nawinięta jest nitka jak na rysunku. Do końca nitki przyłożono poziomą siłę \(\displaystyle{ F = 0,001 N}\). Oblicz przyspieszenie liniowe szpulki, która może toczyć się po poziomej płaszczyźnie bez poślizgu.

Według mnie moment siły przyłożonej i moment siły tarcia mają zwrot za rysunek, kręcą się zgodnie ze wskazówkami zegara (czyli są dodatnie?)
i jeśli są dodatnie, to się je po prostu dodaje?
czyli \(\displaystyle{ M _{F} + M _{T} = I \frac{a}{R}}\) ?
i nie wiem też, co z tą siłą tarcia mam później zrobić

-- 28 mar 2016, o 14:54 --

Post autor: **kruszewski** » 28 mar 2016, o 17:28

proszę zauważyć, że
- z założenia dla małych prędkości ruchu siła tarcia nie zależy od prędkości;
- moment siły tarcia i moment bezwładności masy w jej ruchu obrotowym są działaniami "przeciwstawiającymi się" działaniu siły "pociągowej" nici wykonywanym nad tym ciałem.
Zatem mają one przeciwne zwroty.
Zapisujemy to tak:
Sumą momentów względem chwilowego środka obrotu, którym jest punkt styczności rolki z płaszczyzną po której się ona toczy,
\(\displaystyle{ M_T + I \cdot \varepsilon - F \cdot (R+r)=0}\)

W.Kr.

ania444 · Post autor: **ania444** » 28 mar 2016, o 18:16

Czy moment bezwładności w tym równaniu nie powinien wynosić \(\displaystyle{ I+mR ^{2}}\)? Bo podany w zadaniu moment to moment względem osi przechodzącej przez środek masy, więc z twierdzenia Steinera, by było względem chwilowej osi obrotu, powinniśmy dodać \(\displaystyle{ mR^{2}}\)?
Nie mogę zrozumieć czemu nie bierzemy jako osi obrotu osi przechodzącej przez środek masy, tylko jest nagle jakaś chwilowa oś obrotu.

Post autor: **kruszewski** » 28 mar 2016, o 18:43

Nie, bo ruch obrotowy szpulki jest ruchem obrotowym względem jej osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku.

siwymech · Post autor: **siwymech** » 29 mar 2016, o 09:09

ania444 pisze:Cześć, nie mogę zrozumieć jak ułożyć równanie z momentami sił w tej sytuacji:

Według mnie moment siły przyłożonej i moment siły tarcia mają zwrot za rysunek, kręcą się zgodnie ze wskazówkami zegara (czyli są dodatnie?)
i jeśli są dodatnie, to się je po prostu dodaje?
czyli \(\displaystyle{ M _{F} + M _{T} = I \frac{a}{R}}\) ?
i nie wiem też, co z tą siłą tarcia mam później zrobić

-- 28 mar 2016, o 14:54 --

................................................................................
Co zrobić z siłą tarcia ?
....................................
Ruch szpulki jest złożeniem ruchu obrotowego( dla którego równania Pani prawidłowo wypisała!) i ruch postępowego wzgl. jej środka p.O- brak tego równania!.
Z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego mamy to dodatkowe równanie:
\(\displaystyle{ m \cdot a=F-T}\)
Skąd siła tarcia T:
(1)\(\displaystyle{ T=F-m \cdot a}\)
.......................................
Ponadto jeżeli nie zachodzi poślizg to musi zachodzić związek między przyśpieszeniami- liniowym, a kątowym:
(2) \(\displaystyle{ a=\epsilon \cdot R}\)
....................
Dysponujemy trzema równaniami, z których znajdziemy szukane przyśpieszenie liniowe.
........................................................
Określenie momentów sił
Momenty sił wzgl środka szpulki mają postać.:
\(\displaystyle{ M _{o} _{F}=F \cdot r}\)
\(\displaystyle{ M _{o} _{T}=T \cdot R}\)
Przez środek szpulki punkt O, przechodzi oś obrotu szpulki, prostopadła do płaszczyzny rysunku.
/Znaki momentów takie same, stąd momenty od siły tarcia T i siły napędowej F się sumują w równaniu wynikajacym z II zasady Newtona dla ruchu obrotowego./
..............................................
Rozpatrywany ruch szpulki wzgl.jej środka - nie korzystamy z tw. Steinera .

ania444 · Post autor: **ania444** » 29 mar 2016, o 12:43

Dziękuję bardzo! Z tych równań wreszcie wychodzi poprawny wynik, ale mam jeszcze pytanie - gdy momenty sił mają takie same zwroty to zawsze się je sumuje czy tylko wtedy, gdy kręcą się zgodnie ze wskazówkamk zegara? I po drugiej stronie niezależnie od wszystkiego będzie stała postać \(\displaystyle{ I \cdot \epsilon}\), czy czasem będzie to \(\displaystyle{ -I \cdot \epsilon}\)?

siwymech · Post autor: **siwymech** » 29 mar 2016, o 20:44

W ruchu obrot. szpula pozostaje w równowadze jeżeli suma momentów wszystkich sił wzgl. jej środka będzie równa zeru.
\(\displaystyle{ M _{F} +M _{T} -M=0}\)
.............................................
\(\displaystyle{ M= I \cdot \epsilon}\)

\(\displaystyle{ J \cdot \epsilon=M _{F} +M _{T}}\)

Moment \(\displaystyle{ M=J \cdot \epsilon}\) odzwierciedla moment bezwładności ciała w ruchu obrotowym, to ten moment równoważy momenty składowe od sił F i T i szpula pozostaje w równowadze.
/Momenty składowe powodują obrót szpuli w tym samym kierunku, stąd przyjmujemy dla nich ten sam znak./

ania444 · Post autor: **ania444** » 29 mar 2016, o 21:23

Dziękuję

Post autor: **kruszewski** » 30 mar 2016, o 00:08

Między równością algebraiczną a równoważeniem czegoś przez coś jest subtelna ale istotna różnica pojęciowa.
Inercja obrotowa i moment siły tarcia przeciwstawiają się (każda na swój sposób) zmianie stanu ruchu obrotowego tej szpuli. Dla tego to mają znaki i zwroty swoich wektorów przeciwne do znaku i zwrotu momentu 'usiłującego" zmienić ten stan.
Myślę, że tak należy objaśniać wzajemną przeciwność znaków tych momentów.
W.Kr.