[MIX] Inne zadania przeróżne

[bosa_Nike]

Hmm, właściwie nie wiem, czy dobrze rozumiem, ale co nas to obchodzi? Skoro znaleźliśmy rodziny funkcji, z których każda spełnia wyjściowe równanie różniczkowe w całym \(\displaystyle{ \RR}\), to w szczególności spełnia je w każdym jego podzbiorze. O to chodziło?

[marcin7Cd]

np. \(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases} y=2x \ \hbox{dla} \ x >1 \\ y=\sqrt{3+x^2} \ \hbox{dla} \ x<1 \end{cases}}\) Taka funkcja spełnia równanie(jeżeli traktujemy, że \(\displaystyle{ x \neq 1}\)), a nie należy do wyznaczonych przez ciebie rodzin, bo dla \(\displaystyle{ x>1}\) spełnione jest pierwsze równanie dla \(\displaystyle{ x<1}\) spełnione jest drugie.

[bosa_Nike]

Ach, teraz rozumiem. Tyle, że powinieneś wyrzucić jedynkę z dziedziny na początku, a później rozwiązywać w przedziałach. I OK - to zagra z każdą kombinacją. Zauważ jednak, że ta sama funkcja bez wyłączonej jedynki będzie niedobra - bo w jedynce nieróżniczkowalna.

[marcin7Cd]

Zgadzam się, że ta funkcja nie działa, jednak to nie oznacza, że nie istnieje funkcja, która dla części argumentów spełnia pierwsze równanie, a dla pozostałych drugie.

[bosa_Nike]

No dobra, mamy np. \(\displaystyle{ y=kx}\) oraz \(\displaystyle{ y=\sqrt{x^2+m}}\). Szukamy gładkiego połączenia. Musimy mieć równość pochodnych w punkcie spotkania, czyli np. w \(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{m}{k^2-1}}}\). Ale punkt, w którym pochodne są równe, to np. \(\displaystyle{ x=\sqrt{\frac{k^2m}{1-k^2}}}\), czyli musimy mieć \(\displaystyle{ m=0}\), bo inaczej pod pierwiastkami mielibyśmy liczby przeciwnych znaków. Więc \(\displaystyle{ kx=\sqrt{x^2+0}}\) stąd \(\displaystyle{ k=\pm 1}\), a to nie może być w mianownikach. Myślę, że jest OK.

[mol_ksiazkowy]

17 cd

Ukryta treść:    

To jest od Grinberga na IMO Shortlist 2008. Dowód firmowy jest brzydki, ale i tak ładniejszy od tego, co mi powychodziło.

może jakiś szkic (z czego się to robi ) itd ?

zadania jakie jeszcze są do rozwiazania: 1, 4, 9, 11, 20, 22, 28

[bosa_Nike]

Jaka jest dziedzina w 22.?

[mol_ksiazkowy]

Jaka jest dziedzina w 22.?

Zbiór liczb rzeczywistych.

[bosa_Nike]

Czy rozwiązania 3. i 16. są dobre? Skąd się wzięło \(\displaystyle{ a>0}\) w 21.?

[TomciO]

O co chodzi w \(\displaystyle{ 28}\)? Albo czegoś nie rozumiem albo teza jest oczywista, bo wystarczy wziąć prostą "bardzo daleko". Może ma być, że długość jest nie większa? Albo, że prosta ma przechodzić przez środek układu?

[marcin7Cd]

Dobrze jest. długość rzutu nie zależy od położenia prostej i wektora, ale od ich kierunku. Można, więc zrobić tak, aby prosta przechodziła przez środek układu. Odległość wektorów od tej prostej jest bez większego znaczenia, bo przez przesuwanie można je zmienić.

[TomciO]

Ok, już rozumiem - rzut wektora rozumiałem jako rzut punktu, a nie rzut odcinka. Dzięki:)

[bosa_Nike]

17. cd:    

Kod: Zaznacz cały

https://www.imo-official.org/problems/IMO2008SL.pdf#page=18&zoom=auto,-82,774

.
Jeżeli link w takiej formie nie działa, to to jest Problem A7:

Kod: Zaznacz cały

https://www.imo-official.org/problems/IMO2008SL.pdf

22.:    

Oznaczmy \(\displaystyle{ x+y=t,\ xy=u}\), znajdziemy \(\displaystyle{ t,u}\) w zależności od \(\displaystyle{ z}\):

\(\displaystyle{ \begin{cases}tz+u=12\\uz-t-z=2\end{cases}\iff\begin{cases}t=\frac{11z-2}{z^2+1}\\u=\frac{z^2+2z+12}{z^2+1}\end{cases}}\)

Rozwiązujemy równanie \(\displaystyle{ \left(z^2+1\right)v^2-(11z-2)v+\left(z^2+2z+12\right)=0}\)

Wyróżnik się zwija do \(\displaystyle{ -(z-2)^2(2z+1)(2z+11)}\), co jest nieujemne dla \(\displaystyle{ -\frac{11}{2}\le z\le -\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ z=2}\).

Wynik: \(\displaystyle{ v=\frac{11z-2\pm (2-z)\sqrt{-(2z+1)(2z+11)}}{2\left(z^2+1\right)}}\)

Układ spełniają wszystkie permutacje trójek postaci:

\(\displaystyle{ (x,y,z)=\\ \\ \left(\frac{11w-2+ (2-w)\sqrt{-(2w+1)(2w+11)}}{2\left(w^2+1\right)},\frac{11w-2- (2-w)\sqrt{-(2w+1)(2w+11)}}{2\left(w^2+1\right)},w\right)}\)

przy \(\displaystyle{ -\frac{11}{2}\le w\le -\frac{1}{2}}\) lub \(\displaystyle{ w=2}\)

[Premislav]

11.:    

Niechaj \(\displaystyle{ A_{n}}\) - prawdopodobieństwo wyrzucenia nieparzystej liczby szóstek w \(\displaystyle{ n}\) rzutach,a także \(\displaystyle{ B_{n}}\) - prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby szóstek w \(\displaystyle{ n}\) rzutach. Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ A_{n}+B_{n}=1}\), a także \(\displaystyle{ B_{1}= \frac{5}{6}, A_{1}= \frac{1}{6}}\) oraz
\(\displaystyle{ \begin{cases}A_{n+1}= \frac{1}{6}B_{n}+ \frac{5}{6}A_{n} \\B_{n+1}= \frac{1}{6}A_{n}+ \frac{5}{6}B_{n} \end{cases}}\)
Zdefiniujmyż pomocniczy ciąg różnic, \(\displaystyle{ C_{n}=B_{n}-A_{n}}\). Wtedy z powyższego mamy
\(\displaystyle{ C_{1}= \frac{2}{3}}\) oraz \(\displaystyle{ C_{n+1}= \frac{2}{3}C_{n}}\). Stąd \(\displaystyle{ C_{n}=\left( \frac{2}{3} \right)^{n}}\) i mamy układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} A_{n}+B_{n}=1 \\ B_{n}-A_{n}=\left( \frac{2}{3} \right)^{n} \end{cases}}\)
Odejmując stronami, dostajemy \(\displaystyle{ A_{n}= \frac{1-\left( \frac{2}{3} \right)^{n} }{2}}\)

[TomciO]

Zadanie 28:

Ukryta treść:    

Zadanie sprowadza się do znalezienia jednostkowego wektora \(\displaystyle{ v}\) takiego, że \(\displaystyle{ |\langle v, w_i \rangle | \geq a_i}\) dla \(\displaystyle{ i=1, 2, \ldots, n}\). Łatwo zauważyć, że zbiór \(\displaystyle{ A_i}\) takich jednostkowych wektorów \(\displaystyle{ v}\), że \(\displaystyle{ |\langle v, w_i \rangle| < a_i}\), to dwa symetryczne łuki okręgu jednostkowego, z których każdy ma długość \(\displaystyle{ \pi - 2 \arc \cos a_i}\). Jeżeli wykażemy, że suma mnogościowa zbiorów \(\displaystyle{ A_i}\) nie pokrywa całego okręgu jednostkowego to zadanie zostanie rozwiązane - dowolny wektor \(\displaystyle{ v}\) okręgu nie należący do tej sumy będzie spełniał żądany warunek. Wystarczy więc udowodnić, że suma miar zbiorów \(\displaystyle{ A_i}\) jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 2 \pi}\).

Udowodnimy, że \(\displaystyle{ \pi - 2 \arc \cos a_i \leq a_i \pi}\) i że równość zachodzi tylko dla \(\displaystyle{ a_i=1}\) lub \(\displaystyle{ a_i=0}\), co po zsumowaniu natychmiast da tezę. Sprowadza się to do wykazania nierówności
\(\displaystyle{ \arc \cos x + \frac{\pi}{2} x\geq \frac{\pi}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\).
Analizując pochodną funkcji \(\displaystyle{ \arc \cos x + \frac{\pi}{2} a_i}\) widzimy, że funkcja jest rosnąca dla \(\displaystyle{ 0 \leq x \leq \sqrt{1-\frac{4}{\pi^2}}}\) oraz malejąca dla \(\displaystyle{ \sqrt{1-\frac{4}{\pi^2}} < x \leq 1}\). Żądana nierówność wynika więc z tego, że dla \(\displaystyle{ x=0}\) oraz \(\displaystyle{ x=1}\) mamy równość. W pozostałych punktach jest ścisła nierówność. Kończy to rozwiązanie zadania.

Problem (otwarty) ode mnie: dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ n, m \geq 1}\). Jaka jest najlepsza stała \(\displaystyle{ C}\) (zależna od \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ m}\)) taka, że dla dowolnych wektorów jednostkowych \(\displaystyle{ w_1, w_2, \ldots, w_n \in \mathbb{R}^m}\) istnieje wektor jednostkowy \(\displaystyle{ v}\) taki, że \(\displaystyle{ |\langle v, w_i \rangle | \geq C}\) dla \(\displaystyle{ i=1, 2, \ldots, n}\)? Dla \(\displaystyle{ m=2}\) powyższe zadanie daje oszacowanie \(\displaystyle{ C \geq \frac{1}{n}}\). Dla wyższych wymiarów bardzo podobne rozumowanie pokazuje, że ogólnie \(\displaystyle{ C \geq \frac{1}{(m-1)n}}\). Ciekaw jestem czy można to poprawić? Nawet na płaszczyźnie nie jest jasne czy uzyskane oszacowanie jest optymalne - zgadywałbym, że asymptotycznie tak, ale dla konkretnego \(\displaystyle{ n}\) nie.

Jakie jest źródło tego zadania?