Wykaż,że liczba jest całkowita

[weakness]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 } - \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }}\) Chciałem skorzystać z wzorów skróconego mnożenia na 3 stopień na odejmowanie ale nie do końca wiem jak

[kerajs]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 } - \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }=a}\)
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 } - \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }\right]^3 =a^3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5}+2-3\left( \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 }\right)^2 \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }+3\sqrt[3]{ \sqrt{5}+2} \left( \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }\right) ^2-\sqrt{5}+2=a^3}\)
\(\displaystyle{ 4-3\sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 } +3 \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }=a^3\\
4-3a=a^3\\
a^3+3a-4=0\\
(a-1)(a^2+a+4)=0\\
a=1}\)

[a4karo]

Albo tak:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}\pm 1\right)\right)^3=\sqrt{5}\pm 2}\)

[darek334]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 } - \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }=a}\)
\(\displaystyle{ \left[ \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 } - \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }\right]^3 =a^3}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{5}+2-3\left( \sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 }\right)^2 \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }+3\sqrt[3]{ \sqrt{5}+2} \left( \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }\right) ^2-\sqrt{5}+2=a^3}\)
\(\displaystyle{ 4-3\sqrt[3]{ \sqrt{5}+2 } +3 \sqrt[3]{ \sqrt{5}-2 }=a^3\\
4-3a=a^3\\
a^3+3a-4=0\\
(a-1)(a^2+a+4)=0\\
a=1}\)

Na jakiej zasadzie doszedłeś że to trzeba tak zrobić, na podobieństwie do podobnego zadania, czy na jakiejś ogólnej zasadzie ?