Witam.
Mam pewne pytanie odnośnie przestrzeni banacha. Czy podprzestrzen przestrzeni Banacha np generowana przez jakies wektory \(\displaystyle{ \left\langle e_{1},.., e_{n} \right\rangle}\) jest nigdziegęsta ?
Przestrzeń Banacha
-
szymondk60
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 10 sty 2013, o 20:41
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 11 razy
-
Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3949
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 39
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 931 razy
Przestrzeń Banacha
Każda właściwa domknięta podprzestrzeń liniowa przestrzeni unormowanej jest nigdziegęsta. Każda podprzestrzeń skończenie wymiarowa jest automatycznie domknięta.
By wykazać pierwsze stwierdzenie załóżmy, że \(\displaystyle{ V\subset X}\) jest właściwą domkniętą podprzestrzenią liniową i niech \(\displaystyle{ x\in X\setminus V}\). Załóżmy, że w \(\displaystyle{ V}\) istnieje kula otwarta \(\displaystyle{ B=B(y,r)}\) w \(\displaystyle{ X}\). Ponieważ odwzorowanie \(\displaystyle{ w\mapsto w-y}\) jest autohomeomorfizmem przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), więc kula \(\displaystyle{ B(0,r)}\) jest zawarta w \(\displaystyle{ V}\). Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie tak duże by \(\displaystyle{ rn > \|x\|}\). Wówczas \(\displaystyle{ x\in B(0, rn)\subset V}\); sprzeczność.
By wykazać pierwsze stwierdzenie załóżmy, że \(\displaystyle{ V\subset X}\) jest właściwą domkniętą podprzestrzenią liniową i niech \(\displaystyle{ x\in X\setminus V}\). Załóżmy, że w \(\displaystyle{ V}\) istnieje kula otwarta \(\displaystyle{ B=B(y,r)}\) w \(\displaystyle{ X}\). Ponieważ odwzorowanie \(\displaystyle{ w\mapsto w-y}\) jest autohomeomorfizmem przestrzeni \(\displaystyle{ X}\), więc kula \(\displaystyle{ B(0,r)}\) jest zawarta w \(\displaystyle{ V}\). Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie tak duże by \(\displaystyle{ rn > \|x\|}\). Wówczas \(\displaystyle{ x\in B(0, rn)\subset V}\); sprzeczność.