Przeliczalność i iloczyn kartezjański

gus · Post autor: **gus** » 19 mar 2016, o 20:41

Czy iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu(nawet nieskończenie wielu) zbiorów przeliczalnych jest przeliczalny? I dlaczego?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 19 mar 2016, o 21:00

Skończenie wielu - tak. Iloczyn kartezjański nieskończenie wielu zbiorów (nawet) skończonych może być nieprzeliczalny. Zobacz na \(\displaystyle{ \{0,1\}^{\NN}}\), czyli zbiór wszystkich ciągów zero-jedynkowych. To jest równoznaczne z zapisem dwójkowym wszystkich liczb z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\), czyli nieprzeliczalnie wielu.

gus · Post autor: **gus** » 19 mar 2016, o 22:14

Co oznacza "może być nieprzeliczalny"?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 19 mar 2016, o 22:20

Bo np. iloczyn kartezjański singletonów jest singletonem. Więc nie zawsze iloczyn kartezjański przeliczalnie wielu zbiorów skończonych jest nieprzeliczalny.