udowodnij granicę funkcji

[gocha92]

Dla danych \(\displaystyle{ \mu, \sigma^2}\) pokaż, że

\(\displaystyle{ \lambda (e^{kz}-1)-cz \rightarrow \mu z + \frac{1}{2} \sigma^2 z^2}\), przy \(\displaystyle{ \gamma \rightarrow 0}\),
gdzie
\(\displaystyle{ k= \frac{\gamma}{\sigma^2} , \lambda= \frac{\sigma^6}{\gamma^2} , c= \frac{\sigma^4}{\gamma} - \mu}\)

Jest to zad. 10.4 z książki Panjera 'Financial Economics'. Potrzebuję tego do mojej pracy mgr i niestety nie potrafię sobie poradzić z policzeniem tej granicy. Mi wyszło \(\displaystyle{ \mu z + \sigma^2 z^2}\), więc zapewne coś źle liczyłam.
Proszę o pomoc w policzeniu tej granicy.

[Premislav]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \lambda (e^{kz}-1)-cz= \frac{ \frac{\sigma^{6}}{\gamma}(e^{ \frac{\gamma z}{\sigma^{2}} }-1) -\sigma^{4}z}{\gamma}}\) i korzystając ze znanej granicy
\(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{e^{t}-1}{t}=1}\), otrzymujesz, że licznik zbiega do zera, gdy \(\displaystyle{ \gamma\rightarrow 0}\), więc możesz zastosować regułę de l'Hospitala.
Alternatywnie można wykorzystać to, że e\(\displaystyle{ ^{kz}-1= \sum_{k=1}^{ \infty } \frac{(kz)^{n}}{n!}}\)

[gocha92]

wykorzystałam tę granicę, dzięki czemu zauważyłam, że faktycznie licznik zbiega do 0. Zastosowałam tw. de l'Hospitala, licząc pochodną licznika i mianownika, ale nadal nie dochodzę do poprawnego wyniku.

[Premislav]

Być może popełniasz błąd w obliczeniach, ale pewności nie mam, skoro nie zaprezentowałaś obliczeń. Szczerze mówiąc, zwyczajnie nie mam zamiaru liczyć takich kopiastych pochodnych, bo jest za dużo śmieciowych parametrów, które zaburzają obraz i łatwo o jakąś literówkę/cyfrówkę. Może przybliżę też tę drugą metodę, o której wspomniałem, bo jest zwięźlejsza:
\(\displaystyle{ \frac{ \frac{\sigma^{6}}{\gamma}(e^{ \frac{\gamma z}{\sigma^{2}} }-1) -\sigma^{4}z}{\gamma}+\mu z= \frac{ \frac{\sigma^{6}}{\gamma} \sum_{n=1}^{ \infty }\left( \frac{\gamma z}{\sigma^{2}} \right)^{n}/n! -\sigma^{2}z }{\gamma}+\mu z}\)
Pierwszy wyraz tego szeregu kasuje się po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ \frac{\sigma^{6}}{\gamma}}\) z tym \(\displaystyle{ -\sigma^{4}z}\) w liczniku, drugi wyraz po skróceniu gamm daje granicę, zaś
\(\displaystyle{ \frac{\sum_{n=3}^{ \infty }\left( \frac{\gamma z}{\sigma^{2}} \right)^{n}/n! }{\gamma} \rightarrow 0}\), gdy \(\displaystyle{ \gamma \rightarrow 0}\)

A z de l'Hospitala wygodniej było liczyć (dwa razy) \(\displaystyle{ \lim_{\gamma \to 0} \frac{ \sigma^{6}(e^{ \frac{\gamma z}{\sigma^{2}} }-1) -\gamma\sigma^{4}z}{\gamma^2}+\mu z}\), wybacz, zapisując tak, jak zaproponowałem poprzednio, chyba cały czas dostawalibyśmy z grubsza tę samą granicę. Zgubiłem poprzednio to przeklęte \(\displaystyle{ \mu.}\)

[gocha92]

policzyłam z de l'Hospitala, tak jak teraz napisałeś z \(\displaystyle{ \gamma^2}\) w mianowniku i wyszło Dziękuję

[Premislav]

Proszę bardzo.