Obszar bez punktu na sferze Riemanna

[Wojteg]

Mam problem z dowodem następującego faktu:

Jeżeli \(\displaystyle{ U \subset \overline{\mathbb{C}}}\) jest obszarem (otwarty i spójny w \(\displaystyle{ \overline{\mathbb{C}}}\)) oraz \(\displaystyle{ z \in U}\), to \(\displaystyle{ U \setminus \left\{ z\right\}}\) też jest obszarem.

Nie mam problemu z otwartością, ale ze spójnością mi nie wychodzi...

[Dasio11]

Załóżmy nie wprost, że istnieją dwa rozłączne, niepuste podzbiory otwarte \(\displaystyle{ A, B \subseteq U \setminus \{ z \}.}\) Skoro \(\displaystyle{ z \in U,}\) to istnieje taka kula otwarta \(\displaystyle{ K \subseteq U,}\) że \(\displaystyle{ z \in K.}\)

Zbiór \(\displaystyle{ K \setminus \{ z \}}\) jest spójny, więc nie może być tak, że zbiory \(\displaystyle{ A, B}\) dzielą go na dwa rozłączne, niepuste podzbiory otwarte. Zatem \(\displaystyle{ K \setminus \{ z \} \subseteq A}\) lub \(\displaystyle{ K \setminus \{ z \} \subseteq B.}\) W pierwszym z tych przypadków para \(\displaystyle{ A \cup \{ z \}, B}\) a w drugim \(\displaystyle{ A, B \cup \{ z \}}\) stanowi podział \(\displaystyle{ U}\) na dwa rozłączne, niepuste, otwarte podzbiory \(\displaystyle{ U.}\) Sprzeczność.