Podzielność przez 6

[sheeze]

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ \left( n ^{2} + n \right)\left(n ^{2} +2 \right)}\) jest podzielna przez 6.
\(\displaystyle{ n\left(n+1\right)\left( n ^{2} +2 \right)}\) podzielne przez 2, bo dwie kolejne liczby naturalne, ale jak udowodnić podzielność przez 3?

[Kartezjusz]

Reszty z dzielenia

[Milczek]

Też mam z tym problem, jedyne rozwiązanie to sprawdzić dla \(\displaystyle{ k=6x , k=6x+1 .... k=6x+5}\)?

[bosa_Nike]

\(\displaystyle{ n^2+2=(n-1)^2+2(n-1)+3=(n+2)^2-4(n+2)+6}\)

[Milczek]

Chyba jestem dziś ślepy ale nie widzę co to wnosi do zadania.

[a4karo]

podzielnośc przez 2 już masz. Popatrz na reszty z dzielenia przez 3 ostatniego czynnika.

[bosa_Nike]

Czy liczba \(\displaystyle{ (n-2)n(n+1)(n+2)+6n(n+1)}\) jest podzielna przez sześć, czy nie jest?

[Milczek]

Ok teraz wszystko rozumiem, bosa_Nike, dziękuję Ci ślicznie ale proszę bez irytacji

[asign123]

zrobię odgrzewanie kotleta ale chciałbym się podpiąć pod pytanie .
A mianowicie czy rozwiązując to zadanie bosa_Nike, posługiwałaś się jakąś metodą ? czy przekształcałaś do różnych form "aż wyszło" ?

[a4karo]

Tego nie trzeba zgadywac. Jeżeli \(\displaystyle{ n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\) ,to już . Jeżeli nie, to ostatni czynnik dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).

[ldurniat]

To jest moje rozwiązanie.

Niech \(\displaystyle{ A=n(n+1)(n^2+2).}\) Zauważmy, że \(\displaystyle{ n^2+2=(n+1)(n-1)+3.}\) Wtedy \(\displaystyle{ A=(n-1)n(n+1)^2+3n(n+1).}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ 6|(n-1)n(n+1)}\) oraz \(\displaystyle{ 6|3n(n+1),}\) czyli \(\displaystyle{ 6|A.}\)