Wykazać, że sfera w \(\displaystyle{ R^m}\) nie jest homeomorficznym obrazem żadnego podzbioru otwartego z przestrzeni \(\displaystyle{ R^k}\). (m=3, k=2).
Aby powyższe stwierdzenie było prawdziwe, nie może istnieć odwzorowanie \(\displaystyle{ f:R^3 \rightarrow R^2}\), które jest odwracalne i ciągłe oraz funkcja odwrotna \(\displaystyle{ f^{-1}}\) jest ciągła. Tyle wiem...
Poproszę o jakąś wskazówkę.
homeomorficzny obraz
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
homeomorficzny obraz
Sfera w \(\displaystyle{ \RR^{m}}\) jest zbiorem zwartym, bo jest domknięta i ograniczona. Jedynym zwartym podzbiorem otwartym w \(\displaystyle{ \RR^{k}}\) z metryką euklidesową jest zbiór pusty, który tak "średnio" jest równoliczny ze sferą. Homeomorfizmy zachowują zwartość.