Równania wykładnicze

[MadeleineSwiecicka]

Witam. Proszę o pomoc:
1. Oblicz:
a) \(\displaystyle{ 2 \cdot 3^{3} \cdot \frac{1}{54} \cdot \left( \frac{4}{9}\right) ^2}\)

b) \(\displaystyle{ \left[ 100^{-0,5} \cdot 64^{ \frac{3}{4} } \cdot \left( 0,2\right) ^{ -\frac{1}{2} } \cdot 4^{ -\frac{3}{4} } \cdot 4 ^{-0,75} \right] ^4}\)

c) \(\displaystyle{ 4^{x} - 6 \cdot 2^{x} + 8 =0}\)

d) \(\displaystyle{ \left( \frac{2}{5} \right) ^{3x-7} = \left( \frac{5}{2} \right) ^{7x-2}}\)

e) \(\displaystyle{ 7^{x+1} + 7 ^{x} = 56}\)

Z góry bardzo dziękuję za pomoc. : )

[pawlo392]

W punkcie e wyciągnij \(\displaystyle{ 7^x}\) przed nawias.

[Cosinus01]

Ad a)
Zamieniasz wszystkie liczby na potęgi dwójki i trójki.

Ad b)
Zamieniasz wszystkie liczby na potęgi dwójki i piątki.

Ad c)
Równanie kwadratowe z parametrem.

Ad d)
Jeśli podstawy potęg będą sobie równe, bez problemu będzie się dało obliczyć niewiadomą z równości wykładników potęg o tej samej podstawie.

Ad e)
Wyciągnij coś przed nawias.

[MadeleineSwiecicka]

Drodzy, nie będę kłamać - proszę o rozwiązanie :3

[Cosinus01]

Nie chcę Cię urazić, ale to jest na poziomie gimnazjum. Na pewno potrafisz sama to rozwiązać.

[MadeleineSwiecicka]

Nie chcę Cię urazić, ale to jest na poziomie gimnazjum. Na pewno potrafisz sama to rozwiązać.

No niestety nie potrafię... ; )

[Cosinus01]

No dobra, pobawimy się trochę tymi potęgami. xd

Ad a)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 2 \cdot 3^{3} \cdot \frac{1}{54} \cdot \left( \frac{4}{9} \right)^{2} = 2 \cdot 3^{3} \cdot 2^{-1} \cdot 3^{-3} \cdot \left( \frac{2^{2}}{3^{2}} \right)^{2} = 2^{1-1+4} \cdot 3^{3-3-4} = 2^{4} \cdot 3^{-4} = \frac{16}{81}}\)

Ad b)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \left( 100^{- \frac{1}{2} } \cdot 64^{ \frac{3}{4} } \cdot \left( 0,2 \right)^{ -\frac{1}{2} } \cdot 4^{ -\frac{3}{4} } \cdot 4 ^{- \frac{3}{4} } \right)^{4} =\left[ \left( 2^{2} \cdot 5^{2} \right)^{- \frac{1}{2} } \cdot \left( 2^{6} \right)^{ \frac{3}{4} } \cdot \left( 5^{-1} \right)^{ -\frac{1}{2} } \cdot \left( 2^{2} \right) ^{- \frac{6}{4} } \right]^{4} = \left( 2^{-1} \cdot 5^{-1} \cdot 2^{ \frac{9}{2} } \cdot 5^{ \frac{1}{2} } \cdot 2^{-3} \right)^{4} = \left( 2^{-1+\frac{9}{2}-3} \cdot 5^{-1+\frac{1}{2} \right)^{4}= \left( 2^{ \frac{1}{2} } \cdot 5^{- \frac{1}{2} } \right)^{4} = \frac{4}{25}}\)

Ad c)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 4^{x} - 6 \cdot 2^{x} + 8 = 0 \\ 2^{x} = t \\ t^{2} - 6t + 8 = 0 \\ \Delta = 36 - 32 = 4 \Rightarrow \sqrt{\Delta} = 2 \\ t_{1} = \frac{6-2}{2} = 2 \\ t_{2} = \frac{6+2}{2} = 4 \\ 2^{x} = 2 \vee 2^{x} = 4 \\ x = 1 \vee x = 2}\)

Ad d)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \left( \frac{2}{5} \right)^{3x-7} = \left( \frac{5}{2} \right)^{7x-2} \\ \left( \frac{2}{5} \right)^{3x-7} = \left( \frac{2}{5} \right)^{-7x+2} \\ 3x - 7 = -7x + 2 \\ 10x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{10}}\)

Ad e)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 7^{x+1} + 7^{x} = 56 \\ 7 \cdot 7^{x} + 7^{x} = 56 \\ 7^{x} \cdot \left( 7 + 1 \right) = 56 \\ 7^{x} \cdot 8 = 56 \\ 7^{x} = 7 \\ x = 1}\)

[MadeleineSwiecicka]

Ooo matko, serio? Tak szybko to zrobiłeś? Jestem w szoku - ja na zajęciach to rozumiem, wręcz świecę wiedzą, ale jak próbowałam dziś popracować nad tym to... masakra...
Dziękuję!

[Cosinus01]

Nie ma za co.

[AndrzejK]

Dokładnie, nie ma za co. Bo podanie gotowego rozwiązania niczego nie nauczyło autora tematu.