Nierówność z metryką

[Fiszer]

Udowodnić nierówność z metryką d.

\(\displaystyle{ |d(x,A) - d(y,A)| \le d(x,y)}\),

gdzie \(\displaystyle{ d(x,A) = \inf \left\{ d(x,a): a \in A\right\}}\).


Ponadto, pokazać że możliwa jest nierówność

\(\displaystyle{ d(x,y) > d(x,A) + d(y,A)}\)

Z góry dziękuje

[Kartezjusz]

Zacznę od przykładu dla drugiej nierówności.
Metryka na prostej \(\displaystyle{ x=0;y=4;A=(1,3)}\)

[leg14]

Pierwsza cześć wskazowka:
Skorzystaj z tego, ze \(\displaystyle{ d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)}\)
Z samej deifinicji odleglosciu od zbioru
\(\displaystyle{ d(x,A) \le d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)}\) (dla dowolnego \(\displaystyle{ z \in A}\)!)
można teraz \(\displaystyle{ d(y,z)}\) zamienic na \(\displaystyle{ d(y,A)}\) (dlaczego?)

[Fiszer]

Nie za bardzo rozumiem dlaczego można je zamienić?

[leg14]

Bo przechodzisz do infimum po z.Nierownosc sie zachowa dzieki temu,ze jest to nierownosc nieostra.