Czy zbiór jest ciałem?

[Kuba189]

Pokaż, że zbiór liczb \(\displaystyle{ \lbrace a + b \sqrt{2}: a, b \in Q \rbrace}\) jest ciałem (ze zwykłym dodawaniem i mnożeniem).
Czy ktoś mógłby pokazać mi w jaki sposób zabrać się za tego typu zadanie? Wszystko co mogę znaleźć w internecie odwołuje się do pojęcia grup i pierścieni, których nie miałem przedstawionych na wykładzie.

[Kacperdev]

No ale na pewno poszukałeś dobrze? Jakie warunki musisz sprawdzić.

[Kuba189]

Z definicji ciała, zbiór jest ciałem jeśli

• są w nim określone dwa działania: dodawanie oraz mnożenie
• w zbiorze są dwa wyróżnione różne elementy - 1 i 0
• działania są przemienne
• 1 jest neutralnym elementem mnożenia
• 0 jest naturalnym elementem dodawania
• każdy element zbioru, poza 0, ma element odwrotny względem mnożenia
• każdy element zbioru ma element przeciwny
• zachodzi łączność mnożenia i dodawania oraz rozdzielność mnożenia względem dodawania

Rozumiem, że punkt pierwszy jest spełniony na mocy treści zadania. Mam natomiast problem z zapisem działań i udowodnieniem punktu drugiego.
Czy powinno to wyglądać w ten sposób (dla punktu o przemienności działań)?:
\(\displaystyle{ (a' + b' \sqrt{2}), (c' + d' \sqrt{2}) \in \lbrace a + b \sqrt{2} \rbrace; a, b, a', b', c', d' \in Q}\)
\(\displaystyle{ (a'+b' \sqrt{2}) + (c'+d' \sqrt{2}) = a' + b' \sqrt{2} + c' + d' \sqrt{2} = c' + d' \sqrt{2} + a' + b' \sqrt{2} = (c' + d' \sqrt{2}) + (a' + b' \sqrt{2})}\)

[a4karo]

Rozumiem, że punkt pierwszy jest spełniony na mocy treści zadania.

Nie. To własnie trzeba pokazać (czyli to, że suma, różnica, iloczyn i iloraz liczb takiej postaci też są takiej postaci.

Nie masz problemó z łącznośćią i rozdzielnością, bo one sa dziedziczone z liczb rzeczywistych. Tak samo dziedziczone jest zero i jedynka.

[Kuba189]

A więc:

• dla dodawania:
  \(\displaystyle{ (a'+b' \sqrt{2})+(c'+d' \sqrt{2}) = a' + c' + b' \sqrt{2} + d' \sqrt{2} = (a'+c') + (b'+d')\sqrt{2}}\)
• dla odejmowania:
  \(\displaystyle{ (a'+b' \sqrt{2})-(c'+d' \sqrt{2}) = a' + b' \sqrt{2} - c' - d' \sqrt{2} = (a'-c') + (b'-d')\sqrt{2}}\)
• dla mnożenia:
  \(\displaystyle{ (a'+b'\sqrt{2})(c'+d'\sqrt{2}) = a'c' + a'd'\sqrt{2} + b'c'\sqrt{2} + 2b'd' = (a'c'+2b'd') + (a'd'+b'c')\sqrt{2}}\)
• dla dzielenia:
  \(\displaystyle{ \frac{a'+b'\sqrt{2}}{c'+d'\sqrt{2}} = \frac{a'+b'\sqrt{2}}{c'+d'\sqrt{2}} \cdot \frac{c'-d'\sqrt{2}}{c'-d'\sqrt{2}} = \frac{(a'+b'\sqrt{2})(c'-d'\sqrt{2})}{(c') ^{2} - 2(d')^{2} } = \frac{a'c' - a'd'\sqrt{2} + b'c'\sqrt{2
  } - 2b'd'}{(c')^{2} - 2(d')^{2}} = \frac{(a'c' - 2b'd') + (b'c' - c'd')\sqrt{2}}{(c')^{2} - 2(d')^{2}}}\)

I tu mam problem. Wystarczy jak rozdzielę to na sumę dwóch ułamków? Pierwszy składnik należałby wtedy do liczb wymiernych, drugi składnik byłby w postaci \(\displaystyle{ q\sqrt{2}, q \in Q}\) (?).

[a4karo]

tak (moze jeszcze chwilę trzeba poświęcic niezerowosci mianownika

[Kuba189]

\(\displaystyle{ (c')^{2} \neq 2(d')^{2}}\) wystarczy? Nic innego chyba nie mogę powiedzieć o mianowniku.

[a4karo]

A to założenie, stwierdzenie?

[lemoid]

Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ c \neq \pm d \sqrt{2}}\) ponieważ \(\displaystyle{ c \in Q}\).