[Równania funkcyjne] równanie z funkcją ciągłą

[Dumel]

f jest ciągłą i malejącą funkcją \(\displaystyle{ f: \mathbb{R^{ + }}\mapsto\mathbb{R^{ + }}}\), spełniającą równanie
\(\displaystyle{ f(x + y) + f(f(x) + f(y)) = f(f(x + f(y))) + f(y + f(x))}\)
udowodnij że \(\displaystyle{ f(f(x))=x}\)

moje rozumowanie wyklucza teze i nie moge znaleźć błędu :/

[Rogal]

I zapewne rozumowania przedstawić Ci się nie chce?
Bo tak byłoby zdecydowanie prościej.

[Dumel]

ok troche pogrzebałem w śmietniku i znalazłem :
f jest malejąca, ciągła i oddolnie ograniczona, więc istnieje granica właściwa \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } f(x)=m}\).
przy \(\displaystyle{ y \to \infty}\) mamy \(\displaystyle{ m+f(f(x)+m)=f(f(x+m))+m}\) czyli \(\displaystyle{ f(f(x)+m)=f(f(x+m))}\) co przez wzgląd na różnowartościowość daje \(\displaystyle{ f(x)+m=f(x+m)}\).
do powyższego kładziemy \(\displaystyle{ x \to \infty}\) i dostajemy \(\displaystyle{ 2m=m}\) czyli \(\displaystyle{ m=0}\).
mając to na uwadze, przy \(\displaystyle{ x \to \infty}\) w pierwotnym równaniu otrzymujemy
\(\displaystyle{ 0+f(f(y))= \lim_{x \to 0}f(x)+f(y)}\). musi więc istnieć granica właściwa \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}f(x)=a}\). gdyby teza zadania zachodziła mielibyśmy więc \(\displaystyle{ f(y)=y-a}\) czyli zonk bo nie jest malejąca

[Rogal]

Początek wydaje się mi o tyle podejrzany (pomijam przechodzenie do granic dwa razy, bo to pewno można obronić) - po prawej stronie tożsamości jak przejdziemy z ygrekiem do nieskończoności to raczej powinniśmy otrzymać:
\(\displaystyle{ f(f(x+m)+m)}\)
Czy ja jestem jakiś ślepy?

[Dumel]

z \(\displaystyle{ f(x + y)}\) mamy \(\displaystyle{ m}\)
z \(\displaystyle{ f(f(x) + f(y))}\) dostajemy\(\displaystyle{ f(f(x)+m)}\)
z \(\displaystyle{ f(f( x + f(y) ))}\) - \(\displaystyle{ f(f(x+m))}\)
a z \(\displaystyle{ f(y + f(x))}\) - \(\displaystyle{ m}\)
nie widze nigdzie błędu

[Rogal]

Ach, bo tam na końcu jest za dużo o jeden nawias, to mnie zmyliło. Jednak ślepota.
Wygląda więc na to, że takie przechodzenie sobie do granicy w tożsamości nie jest niczym uzasadnione.
Trzeba chyba coś bardziej elementarnego i nie budzącego podejrzeń wymyślić, jednak na ten moment żaden psikus mi do głowy nie przychodzi.

[Dumel]

ale skoro jest informacja o ciągłości to do czegoś jest potrzebna i raczej granic się nie uniknie

Wygląda więc na to, że takie przechodzenie sobie do granicy w tożsamości nie jest niczym uzasadnione.

nieprzechodzenie też nie jest niczym uzasadnione

[Rogal]

Z ciągłości i monotoniczności wyciągasz różnowartościowość.
Dzięki ciągłości możesz postępować jak z równaniem Cauchy'ego, czyli pokazać dla naturalnych, potem całkowitych, potem wymiernych, a potem korzystasz z gęstości wymiernych i właśnie ciągłości i masz na całą dziedzinę. Także ciągłość o granicach wcale nie przesądza.
A nieprzechodzenie jest jak najbardziej uzasadnione - nie robisz nic, więc się nie pomylisz. :]

[mazur89]

Moim zdaniem równanie powinno raczej wyglądać tak:
\(\displaystyle{ f(x + y) + f(f(x) + f(y)) = f(f(x + f(y)) + f(y + f(x))).}\)
Wtedy jest większa szansa na istnienie dowodu, bo np. \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x}}\) spełnia to równanie...

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ y=x}\) daje:
(*)\(\displaystyle{ f(2x)+f(2f(x))=f(2f(x+f(x)))}\)

Kładac w (*) w miejsce \(\displaystyle{ x}\), \(\displaystyle{ f(x)}\) mamy
(**) \(\displaystyle{ f(2f(x))+f(2f(f(x)))=f(2f(f(x)+f(f(x))))}\)
Odejmujac stronami (**) i (*):

\(\displaystyle{ f(2f(f(x)))-f(2x) = f(2f(f(x)+f(f(x)))) - f(2f(x+f(x)))}\)

Gdyby wiec \(\displaystyle{ f(f(x))>x}\) to lewa strona ostatniego równania (a wiec i prawa) bedzie ujemna.
Skoro f maleje wiec
\(\displaystyle{ f(f(x)+f(f(x)))> f(x+f(x))}\) czyli
\(\displaystyle{ f(x)+f(f(x)) < x+f(x)}\) tj
\(\displaystyle{ f(f(x)) < x}\) sprzecznosc

Podobnie do sprzecznosci doprowadzi nas przypuszczenie ze \(\displaystyle{ f(f(x))< x}\)
A wiec istotnie \(\displaystyle{ f(f(x))=x}\)
Ciagłosc nie była potrzebna.