zależności między zbiorami skończonymi

tralalala · Post autor: **tralalala** » 19 lut 2016, o 14:12

Hej, powie mi ktoś która odpowiedź jest poprawna i dlaczego nie c?

Niech A i B będą takimi zbiorami skończonymi, że \(\displaystyle{ B \subset A}\) . Wtedy na pewno:

a. \(\displaystyle{ \left| A \right| > \left| B \right|}\)
b. \(\displaystyle{ \left| A \setminus B \right| = \left| A\right| - \left| B \right|}\)
c. \(\displaystyle{ \left| A \cup B \right| = \left| A \right| + \left| B \right|}\)

Z góry dziękuje

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 19 lut 2016, o 14:28

Zrób sobie rysunek albo weź dwa konkretne zbiory skończone o tej własności. Sprawdź wszystkie odpowiedzi. A potem spróbuj to uogólnić.

Wersja a) nie zawsze jest prawdziwa, bo są podzbiory niewłaściwe.

tralalala · Post autor: **tralalala** » 19 lut 2016, o 14:36

Bo w podpunkcie a. powinno być większe bądź równe?
Ale nadal nie rozumiem czemu w podpunkcie c jest nieprawdziwe, przecież \(\displaystyle{ \cup}\) oznacza sume, wszystkie elemnty z jednego i drugiego, więc czemu nie pokrywa się to z prawą stroną równania?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 19 lut 2016, o 14:39

No to rozważ dwa konkretne zbiory \(\displaystyle{ A,B}\), a zobaczysz.

a) w wersji ze słabą nierównością jest prawdziwe.

ania1056 · Post autor: **ania1056** » 19 lut 2016, o 16:05

Na przykład, niech \(\displaystyle{ A=\left\{ 1,2,3,4,5\right\}}\), a \(\displaystyle{ B=\left\{ 2,3\right\}}\). Wtedy prawdą jest, że \(\displaystyle{ B \subset A}\). Zauważ, że
\(\displaystyle{ |A \cup B|=5}\)
natomiast
\(\displaystyle{ |A|+|B|=5+2=7}\).

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 19 lut 2016, o 17:10

Czemu robisz to za pytającą? Nie wątpię, że wiesz, o co chodziło w mojej wskazówce. Lecz dawanie gotowców nie jest wskazane.

ania1056 · Post autor: **ania1056** » 19 lut 2016, o 18:34

Racja, mogłam nie pisać w pełni wszystkiego. Przepraszam

Post autor: **Jan Kraszewski** » 19 lut 2016, o 18:50

szw1710 pisze:Wersja a) nie zawsze jest prawdziwa, bo są podzbiory niewłaściwe.

To zależy od interpretacji symbolu \(\displaystyle{ \subset}\). Czasem interpretuje się go jako zawieranie, czasem jako zawieranie właściwe.

JK

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 19 lut 2016, o 19:16

Tu panuje rzeczywiście bałagan. W skrypcie konsekwentnie stosujesz symbol \(\displaystyle{ \subseteq}\) aby uniknąć nieporozumień. Jakoś całe życie pisałem symbol \(\displaystyle{ \subset}\) z interpretacją dopuszczającą inkluzję niewłaściwą. I nie umiem się od tego odzwyczaić. Jednak test musi być jednoznaczny. Jeśli na wykładzie nadano interpretację, wszystko OK. Jeśli nie - należy doprecyzować w teście.

Niektórzy piszą też \(\displaystyle{ \subsetneq}\) na inkluzję właściwą.