Analiza zespolona - ciągłość funkcji

[pryk728]

Cześć, bardzo proszę o pomoc w udowodnieniu ciągłości następujących dwóch funkcji zespolonych i wytłumaczenie (kontrprzykłady) na miejsca nieciągłości tych funkcji.
a) \(\displaystyle{ \mathrm{Log} : \CC \setminus \{0\} \rightarrow \CC}\)
b) \(\displaystyle{ \mathrm{Arg} : \CC \setminus \{0\} \rightarrow (- \pi , \pi ]}\)

gdzie \(\displaystyle{ \CC}\) - oznacza zbiór liczb zespolonych.

Ponadto bardzo proste ale coś nie umiem na nie wpaść:
Udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ |z| \le |\Re(z)|+|\Im(z)|}\)
z góry bardzo dziękuję!

[Premislav]

Pierwszego nie umiem, było na funkcjach analitycznych, ale to dawno i nieprawda.

Drugie: wystarczy zapisać \(\displaystyle{ \left| z\right|= \sqrt{(\Re(z))^{2}+(\Im(z))^{2}}}\), po czym podnieść nierówność stronami do kwadratu. Albo można od razu skorzystać z nierówności trójkąta:
mamy \(\displaystyle{ z=\Re(z)+i\cdot \Im(z), \text{ więc } \left| z\right| \le \left|\Re(z) \right|+\left|i\cdot \Im(z) \right| =}\)...
(\(\displaystyle{ \left| \right|}\) oznacza tu standardową normę w \(\displaystyle{ \CC}\), tj. gdy \(\displaystyle{ z=x+iy, x,y \in \RR}\), to \(\displaystyle{ \left|z\right| = \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\)).

[Kartezjusz]

\(\displaystyle{ \log z = \log|z|+ i \arg z}\)
\(\displaystyle{ z_n = \frac{1}{n} e^{i \pi}}\) ten ciąg kłóci się z Heinem. Wartości nie dążą do zera.

[leszczu450]

pryk728, zarówn \(\displaystyle{ \mathrm{Log}}\) jak i \(\displaystyle{ \mathrm{Arg}}\) są nieciągłe na ujemnej półosi rzeczywistej. Weź sobie dwa ciągi(jeden idący od drugiej ćwiartki, drugi od trzeciej) zbieżne do dowolnej liczby ujemnej i zobacz, że wówczas granica raz wychodzi \(\displaystyle{ \pi}\) i raz \(\displaystyle{ - \pi}\).

[pryk728]

Leszczu450, a czy można prosić o jakiś przykładowy ciąg, bo w sumie mam z tym problem.

Z drugiej strony jak się zabrać za dowód ciągłości tych funkcji poza zerem?