objętość bryły obrót względem prostej

[spzkasia]

Cześć, mam problem z poniższym zadaniem:

Znajdź objętość bryły otrzymanej przez obrót płaszczyzny ograniczonej prostą x=a i parabolą \(\displaystyle{ y^{2}=4ax}\) względem a) prostej x=a b) prostej x=2a.

Wydaje mi się, że powinna tu się pojawić taka całka: \(\displaystyle{ 2 \pi \int_{0}^{a}x \cdot 2 \cdot \sqrt{a} \cdot \sqrt{x} dx}\) (rozpisane według wzoru na objętość bryły po obrocie względem osi OY). Otrzymuję wynik \(\displaystyle{ \frac{8 \pi }{5} a^{3}}\). Co jest nie tak? Odpowiedzi zbiorku mówią, że powinno wyjść \(\displaystyle{ \frac{32 \pi }{15} a^{3}}\). z góry dziękuję za wszelką pomoc.

[SlotaWoj]

Źle wyprowadzasz te całki.

W przypadku a) ma być:

• \(\displaystyle{ V_a={\red{2}}\pi\sqrt{a}\int_0^a (a-x)\sqrt{x}\,dx}\)

W przypadku b) ma być:

• \(\displaystyle{ V_b={\red{2}}\pi\sqrt{a}\int_0^a (2a-x)\sqrt{x}\,dx}\)

Edit:
Zgubiłem czwórkę. Zaznaczyłem błędne stałe. Ma być tak, jak podał poniżej Janusz47.

[janusz47]

\(\displaystyle{ V_{a} = 8\pi \sqrt{a}\int_{0}^{a}(a-x)\sqrt{x}dx,}\)

\(\displaystyle{ V_{b}= 8\pi \sqrt{a}\int_{0}^{a}(2a-x)\sqrt{x}dx.}\)

[spzkasia]

Dziękuję. A możecie wytłumaczyć, skąd takie wzory?

[janusz47]

Wzór na objętość bryły obrotowej powstałej z obrotu krzywej danej równaniem \(\displaystyle{ y=f(x)}\)
wokół Osi \(\displaystyle{ Oy}\)

\(\displaystyle{ |V|= 2\pi \int_{a}^{b}x f(x)dx.}\)

Obrót nie odbywa się bezpośrednio wokół osi Oy, lecz wokół prostej \(\displaystyle{ x=a}\) (przypadek a) ) więc za \(\displaystyle{ x}\) podstawiamy \(\displaystyle{ a - x}\) (przesunięcie osi Oy do punktu \(\displaystyle{ x = a}\))

Za \(\displaystyle{ f(x)}\) podstawiamy \(\displaystyle{ y = +\sqrt{4ax}= +2\sqrt{a}\sqrt{x}}\)

Ponieważ oś jest \(\displaystyle{ Ox}\) jest osią symetrii powstałej bryły, bo obrót wykonuje także część krzywej zawarta pod osią \(\displaystyle{ Ox}\) o równaniu \(\displaystyle{ y= -\sqrt{4ax}= -2\sqrt{a}\sqrt{x}}\), więc całkę mnożymy przez 2.

Stąd \(\displaystyle{ 2\pi \cdot 2 \cdot 2 = 8\pi}\) - przed znakiem całki.

Podobnie obliczamy objętość \(\displaystyle{ |V|}\) w przypadku b)

[SlotaWoj]

W zadaniu b) obracana jest ta sama krzywa, ale wokół osi obrotu \(\displaystyle{ x=2a}\), a nie \(\displaystyle{ x=a}\) stąd pod całką jest czynnik \(\displaystyle{ (2a-x)}\), a nie \(\displaystyle{ (x-a)}\).

[spzkasia]

Dziękuję, @SlotaWoj i @janusz47, teraz wszystko jasne
Pozdrawiam

[SlotaWoj]

Można powstanie tych całek wyjaśnić również tak (np. dla zadania b)):

• Równanie górnej połówki paraboli:
  
  • \(\displaystyle{ y=2\sqrt{a}\sqrt{x}}\)
  Długość pionowego odcinka pomiędzy połówkami paraboli:
  
  • \(\displaystyle{ h=2y=4\sqrt{a}\sqrt{x}}\)
  Powierzchnia elementarna (prostokąt o wysokości \(\displaystyle{ h}\) i szerokości \(\displaystyle{ dx}\)):
  
  • \(\displaystyle{ dS=h\,dx=4\sqrt{a}\sqrt{x}\, dx}\)
  Odległość powierzchni elementarnej od osi obrotu:
  
  • \(\displaystyle{ 2a-x}\)
  Objętość elementarna (tuleja o wysokości \(\displaystyle{ h}\), grubości ścianki \(\displaystyle{ dx}\) promieniu \(\displaystyle{ 2a-x}\)) z drugiego twierdzenia Papussa-Guldina:
  
  • \(\displaystyle{ dV=2\pi(2a-x)\, dS= 8\pi(2a-x)\sqrt{a}\sqrt{x}\, dx}\)
  Objętość bryły (po wyłączeniu \(\displaystyle{ \sqrt{a}}\) przed znak całki):
  
  • \(\displaystyle{ V=\int_{x=0}^{x=a} dV=V_b=8\pi\sqrt{a}\int_0^a (2a-x)\sqrt{x}\,dx}\)