granica ciągła ciągu funkcyjnego jednostajnie zbieżnego

[ziggy_stardust]

Witam, ciekawi mnie czy prawdziwe jest następujące twierdzenie:
Niech dany będzie ciąg funkcyjny \(\displaystyle{ (f_n)}\), gdzie \(\displaystyle{ f_n:A_n \rightarrow X}\), którego każdy element jest jednostajnie ciągły oraz dla każdego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ A_{n+1} \subset A_n}\), wtedy \(\displaystyle{ f= \lim_{n \to \infty} f_n}\), \(\displaystyle{ f:A \rightarrow X}\), przy czym \(\displaystyle{ A= \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n}\) jest funkcją ciągłą

[szw1710]

A co będzie, gdy \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^\infty} A_n=\emptyset?}\) Trzeba założyć niepustość przekroju, np. zwartość wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) lub przynajmniej jednego z nich. To już gwarantuje niepustość przekroju.

Wydaje mi się, że Twoja hipoteza jest fałszywa. Weźmy \(\displaystyle{ A_n=[0,1]}\), więc \(\displaystyle{ A=[0,1]}\), \(\displaystyle{ f_n(x)=x^n}\) są jednostajnie ciągłe (bo ciągłe na zbiorze zwartym), a granica nie jest ciągła, bo jest to funkcja zerowa na \(\displaystyle{ [0,1)}\) oraz przyjmująca wartość \(\displaystyle{ 1}\) w punkcie \(\displaystyle{ 1}\).

Trzeba by też założyć jednostajną zbieżność (zauważyłem przy którejś edycji postu, że masz taki tytuł ), której w powyższym przykładzie oczywiście nie ma. Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą, więc wtedy hipoteza zachodzi, bo na przekroju wyrazy ciągu są oczywiście ciągłe. Przy założeniu zwartości zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) wystarczy oczywiście postulować ciągłość. Oczywiście trzeba coś wiedzieć też o przeciwdziedzinie \(\displaystyle{ X}\). Tyle, żeby zachodziło wspomniane twierdzenie: granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

[matmatmm]

A co będzie, gdy \(\displaystyle{ \bigcap_{n=1}^\infty} A_n=\emptyset?}\) Trzeba założyć niepustość przekroju, np. zwartość wszystkich zbiorów \(\displaystyle{ A_n}\) lub przynajmniej jednego z nich.

A niby dlaczego? Funkcja na zbiorze pustym jest ciągła.