Wskaż zdania prawdziwe.

mark939 · Post autor: **mark939** » 12 lut 2016, o 19:50

\(\displaystyle{ [a]}\) oznacza część całkowitą liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ a.}\)

A) Dla dowolnych liczb \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) zachodzi \(\displaystyle{ [x+y]>[x]+[y]}\).
B) Istnieje taka dodatnia liczba rzeczywista x, że zachodzi \(\displaystyle{ \left[ x+ \frac{1}{2} \right] = \left[ 2x \right] - \left[ x \right]}\).
C) Dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ x \in \RR}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left[ x+ \frac{1}{2} \right] = \left[ 2x \right] - \left[ x \right]}\).
D) Istnieje nieskończenie wiele liczb niewymiernych \(\displaystyle{ x}\) takich że zachodzi \(\displaystyle{ [-x]=-[x]}\).

Kilka odpowiedzi może być poprawnych proszę o pomoc

a4karo · Post autor: **a4karo** » 12 lut 2016, o 22:33

Wsk: Każdą liczbę można zapisac w postaci \(\displaystyle{ x=c+\xi}\), gdzie \(\displaystyle{ c\in\ZZ, 0\leq\xi<1}\)

mark939 · Post autor: **mark939** » 12 lut 2016, o 23:50

Niestety ale nie widzę powiązania

vicossess · Post autor: **vicossess** » 13 lut 2016, o 00:13

Pozwolę sobie dać wskazówkę taką:

Zauważ, że \(\displaystyle{ c \in \mathbb{Z} \Rightarrow [c + \xi] = c + [\xi]}\).

mark939 · Post autor: **mark939** » 13 lut 2016, o 00:38

a tak właściewie zrozumiałem no ale ja wiem co to jest ceacha ale nie wiem które odp są dobre-- 13 lut 2016, o 00:41 --Myślę że pierwsze zdanie jest zawsze fałszywe mam racje ?

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 13 lut 2016, o 00:48

Jeżeli chcesz obalić jakąś nierówność wystarczy kontrprzykład.

mark939 · Post autor: **mark939** » 13 lut 2016, o 00:59

Według mnie pierwsze będzie jednak prawdziwe drugie tez prawda mam racje

vicossess · Post autor: **vicossess** » 13 lut 2016, o 01:02

Poprawne są odpowiedzi B i C.
D zachodzi tylko dla liczb całkowitych.
W A sprzeczność dla chociażby \(\displaystyle{ x=y=1}\)

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 13 lut 2016, o 01:04

Czemu zgadujesz. Czym masz przesłanki, że jest prawdziwe. Dla pierwszej nierówności można łatwo wskazać kontrprzykład:

\(\displaystyle{ x=1, y=\frac{1}{2}}\)

w b) jest słowo ISTNIEJE, więc wystarczy wskazać taką. Co powiesz o \(\displaystyle{ x=1}\) ?

mark939 · Post autor: **mark939** » 13 lut 2016, o 01:09

ja nie zgaduje tylko w pierwszym przykładzie nie pomyślałem że mogą być takie same w drugi miałem racje a 3 to ciężko szybko ocenić skoro dla każdej ma być prawdziwy,ale i tak dziękuje za pomoc.

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 13 lut 2016, o 01:10

Bo trzecie już trzeba udowodnić. I najlepiej skorzystać ze wcześniejszych rad.
Kolejna wskazówka: wspomniane \(\displaystyle{ \xi}\) rozpatrz dla \(\displaystyle{ \xi<\frac{1}{2} \vee \xi \ge \frac{1}{2}}\)

mark939 · Post autor: **mark939** » 13 lut 2016, o 01:23

Dla obu równanie jest prawdziwe

Kacperdev · Post autor: **Kacperdev** » 13 lut 2016, o 01:29

No i o to chodziło.