Czy to zdanie jest prawdziwe? tensor, forma różniczkowa

[hubble]

Czy to zdanie jest prawdziwe?
Nie każdy tensor jest formą różniczkową.

[AiDi]

Tak jest prawdziwe. Formy to bardzo konkretne tensory - całkowicie kowariantne tensory antysymetryczne.

Swoją drogą to ja bym rozróżniał formy (tensory) od form różniczkowych (pól tensorowych), pierwsze to działka algebry, drugie - geometrii różniczkowej

[hubble]

Czyli jeśli mamy taką formę różniczkową:\(\displaystyle{ \omega_{1} = f(x) dx + g(y) dy + h(z) dz}\) to jaka jest macierz tego tensoru (bo tensor to macierz)?

Jeśli mamy taką formę: \(\displaystyle{ \omega_{2} = f(x) dy \wedge dz + g(y) dz \wedge dx + h(z) dx \wedge dy}\)
to macierz wygląda tak:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&h(z)&0\\0&0&f(x)\\g(y)&0&0\end{bmatrix}}\)

Czy forma różniczkowa jest formą linową? Nie każda forma liniowa jest formą różniczkową?

[PLrc]

Swoją drogą to ja bym rozróżniał formy (tensory) od form różniczkowych (pól tensorowych), pierwsze to działka algebry, drugie - geometrii różniczkowej

Z tego co widziałem to różni autorzy różnie definiują formy różniczkowe: Musielak i Skrzypczak w swojej analizie matematycznej definiują formy różniczkowe jako antysymetryczne tensory kowariantne, natomiast Górniewicz i Ingarden jako funkcje, które punktom przyporządkowują tensory. Dziwne. To co Górniewicz i Ingarden nazywają formami różniczkowymi, ja bym raczej nazwał polem form różniczkowych.

Czyli jeśli mamy taką formę różniczkową:\(\displaystyle{ \omega_{1} = f(x) dx + g(y) dy + h(z) dz}\) to jaka jest macierz tego tensoru (bo tensor to macierz)?

Tensor to funkcja. Np. w przypadku tensora dwukrotnie kowariantnego tensor \(\displaystyle{ T}\) to funkcja: \(\displaystyle{ T: \ V \times V \rightarrow K}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) to przestrzeń liniowa nad ciałem skalarów \(\displaystyle{ K}\), taka że \(\displaystyle{ T(\cdot, \ v)}\), \(\displaystyle{ T(v,\ \cdot)}\) (ustaliłem jedną zmienną) są przekształceniami liniowymi. Tensory, to funkcje, które wektorom przyporządkowują liczby. Tensory same też tworzą przestrzeń liniową, więc można mówić o ich współrzędnych w bazie. Ponieważ tensor w danej bazie całkowicie wyznaczają jego współrzędne, to często tensory utożsamia się z ich współrzędnymi (fizycy bardzo często nazywają tensorami ich współrzędne). Jak tensor przyjmuje tylko dwie zmienne, to współrzędne można ułożyć w macierz, stąd to nieporozumienie.

Natomiast formy różniczkowe to pewne szczególne tensory.

-- 8 mar 2016, o 12:26 --

Czy forma różniczkowa jest formą linową? Nie każda forma liniowa jest formą różniczkową?

Wyrażenia: funkcjonał liniowy, forma liniowa, (jedno)tensor to synonimy. Forma różniczkowa jest pewną szczególną formą liniową, ale nie każda forma liniowa to forma różniczkowa.

[hubble]

Tensor to funkcja. Np. w przypadku tensora dwukrotnie kowariantnego tensor \(\displaystyle{ T}\) to funkcja: \(\displaystyle{ T: \ V \times V \rightarrow K}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) to przestrzeń liniowa nad ciałem skalarów \(\displaystyle{ K}\)

To mi wygląda na tensor kontrawariantny. Kowariantny by był wówczas, gdzy V to przestrzeń dualna(sprzężona).

Tensor można przedstawić jako macierz. Więc jakie są macierze tych form różniczkowych?

[AiDi]

To co Górniewicz i Ingarden nazywają formami różniczkowymi, ja bym raczej nazwał polem form różniczkowych.

Formy różniczkowe=pola form=cięcia wiązki kostycznej lub jej zewnętrznej potęgi, czyli tak jak definiuje Ingarden. Tak obecnie się to definiuje i tak się standardowo naucza. "Różniczkowa" odnosi się do rozmaitości różniczkowej.

w swojej analizie matematycznej

Standardów trzeba szukać w książkach z geometrii różniczkowej Na analizie dużo rzeczy się utożsamia ze sobą.

To mi wygląda na tensor kontrawariantny.

Nie, jest kowariantny, dwukrotnie. "Wyrazy macierzowe" miałyby indeksy dolne.

Tensor można przedstawić jako macierz. Więc jakie są macierze tych form różniczkowych?

\(\displaystyle{ dx=[1,0,0]}\), itd, jak to zwykle dla bazy dualnej.

[hubble]

No dobra. A dla takiej \(\displaystyle{ \omega_{2} = f(x) dy \wedge dz + g(y) dz \wedge dx + h(z) dx \wedge dy}\) formy jak będzie wyglądać macierz?

Da się ten tensor \(\displaystyle{ T: \ V \times V \rightarrow K}\) "przerobić" na dwukrotnie kontrawariantny przez zmianę argumentów na przestrzenie dualne?

[PLrc]

Formy różniczkowe=pola form=cięcia wiązki kostycznej lub jej zewnętrznej potęgi, czyli tak jak definiuje Ingarden.

Dobra, to będę się tego trzymał:

No dobra. A dla takiej \(\displaystyle{ \omega_{2} = f(x) dy \wedge dz + g(y) dz \wedge dx + h(z) dx \wedge dy}\) formy jak będzie wyglądać macierz?

Pomyślmy. Jeżeli to jest forma różniczkowa na podzbiorze otwartym \(\displaystyle{ U \subset \mathbb{R}^n}\), to wtedy \(\displaystyle{ \omega(x,\ y,\ z)}\) przyjmuje jako argumenty wektory z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\). Macierz formy dwuliniowej \(\displaystyle{ F}\) w bazie uporządkowanej \(\displaystyle{ (e_i)_{i=1}^n}\) to macierz \(\displaystyle{ (F(e_i,\ e_j))_{i,\ j=1}^n}\) W tym wypadku to będzie macierz \(\displaystyle{ (\omega(x,\ y,\ z)(e_i, e_j))_{i,\ j=1}^3}\), \(\displaystyle{ e_1=(1,0,0), \ e_2=(0,1,0), \ e_3=(0,0,1)}\)
Mamy: \(\displaystyle{ dx(x,\ y,\ z)=x}\), \(\displaystyle{ dy(x,\ y ,\ z)=y}\), \(\displaystyle{ dz(x,\ y,\ z)=z}\). Oprócz tego: \(\displaystyle{ dx \wedge dy=dx \otimes dy-dy \otimes dx}\) itd. Zatem:
\(\displaystyle{ \omega(x,\ y,\ z)(e_1, e_2)=f(x)(dy \otimes dz-dz \otimes dy)(e_1, \ e_2)+g(y)(dz \otimes dx-dx \otimes dz)(e_1, \ e_2)+h(z)(dx \otimes dy-dy \otimes dx)(e_1,\ e_2)=h(z)(dx(e_1)dy(e_2)-dy(e_1) dx(e_2))=h(z) \cdot 1 \cdot 1=h(z)}\)

Postępując w ten sposób dalej chyba wyjdzie nam macierz \(\displaystyle{ \begin{pmatrix}0&h(z)&-g(y)\\-h(x)&0&f(x)\\g(y)&-f(x)&0\end{pmatrix}}\). Wyszła antysymetryczna, tak jak powinna

-- 8 mar 2016, o 23:08 --

Da się ten tensor \(\displaystyle{ T: \ V \times V \rightarrow K}\) "przerobić" na dwukrotnie kontrawariantny przez zmianę argumentów na przestrzenie dualne?

Chyba chciałeś spytać, czy da się przerobić zamieniając dziedzinę na iloczyn przestrzeni dualnych: \(\displaystyle{ T:\ V^*\times V^* \rightarrow K}\) Jak mamy pole tensora metrycznego, to możemy "przerabiać" tensory kowariantne na kontrawariantne i odwrotnie. Możesz o tym poczytać tu:

Kod: Zaznacz cały

https://pl.wikipedia.org/wiki/Izomorfizm_muzyczny