Zbadać zbieżność ciągu

[harpun24]

Zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ a_{n}= ( \sqrt{ n^{2}+2n} -n } )^{n}}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)
Bardzo prosze o sprawdzenie poprawności rozumowania.
Udało mi się pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ a^{n}}\) jest ograniczony.
Dowodząc równości
1)\(\displaystyle{ ( \sqrt{ n^{2}+2n} -n } )^{n}>0}\)
2)\(\displaystyle{ ( \sqrt{ n^{2}+2n} -n } )^{n}<1}\) Pierwiastkując, przenosząc n na prawa strone i podnosząc obie strony do kwadratu
Monotonicznosć.
Jeśli ciąg \(\displaystyle{ b_{n}=\sqrt{ n^{2}+2n} -n }}\) jest monotoniczny to ciąg \(\displaystyle{ a_{n}= ( \sqrt{ n^{2}+2n} -n } )^{n}}\) też. Jesli \(\displaystyle{ a>b}\) to \(\displaystyle{ a^{n}>b^{n}}\)
dla \(\displaystyle{ a,b>0}\)
Badając znak różnicy \(\displaystyle{ b_{n+1}- b_{n}}\) dostajemy :
\(\displaystyle{ \sqrt{ n^{2}+4n+3} - \sqrt{n^{2}+2n}-1}\)
Granica tego \(\displaystyle{ \sqrt{ n^{2}+4n+3} - \sqrt{n^{2}+2n}}\) to 1 i \(\displaystyle{ \sqrt{ n^{2}+4n+3}>\sqrt{n^{2}+2n}}\)
Zatem różnica\(\displaystyle{ b_{n+1}- b_{n}}\) jest dodatnia
Czyli Ciąg \(\displaystyle{ a_{n}= ( \sqrt{ n^{2}+2n} -n } )^{n}}\) jest ograniczony i rosnący zatem zbieżny.Poprawnie rozumuje ?

[Kartezjusz]

Musisz zagwarantować dodatniość\(\displaystyle{ a, b}\) z twojego rozumowania, bo dla parzystych\(\displaystyle{ n}\) byłaby heca.

[Kacperdev]

No ale dodatność ma zagwarantowaną z ograniczenia. Poza tym to ograniczenie daje nam lepsze w tym wypadku narzędzie do badania monotoniczności:

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1}\)

[harpun24]

a faktycznie z \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1}\) szybciej pójdzie

[Kacperdev]

Szybciej i ładniej. W swoim dowodzie używasz pojęcia granicy. Czyli pokazujesz istnienie granicy licząc granicę.

[harpun24]

Poza tym to ograniczenie daje nam lepsze w tym wypadku narzędzie do badania monotoniczności:

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1}\)

mam pytanie jeśli nie wiem czy ciąg jest ograniczony to nie moge badac monotonicznosci za pomocą \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1}\)???
Wydawało mi sie że zawsze można

[Kacperdev]

zależy jak ograniczony jest ciąg. Tu wiadomo, że ciąg jest o wyrazach dodatnich, więc można.

[Straznik Teksasu]

Chyba najprościej jest policzyć granicę tego ciągu, która wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{e} }}\) .

[harpun24]

a jaki sposób można to wyznaczyć?

[Kacperdev]

\(\displaystyle{ \left( \sqrt{ n^{2}+2n} -n } \right)^{n} = e^{n\ln\left( \sqrt{ n^{2}+2n} -n \right) }}\)

[Straznik Teksasu]

Policz granicę tej funkcji tej postaci:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty} e^{x\ln\left( \sqrt{ x^{2}+2x} -x \right) }= \lim_{ x \to \infty} e^{ \frac{\ln\left( \sqrt{ x^{2}+2x} -x \right) }{ \frac{1}{x} }}}\)

Wpierw musisz gdzieś na boku policzyć granicę wyrażenia pod logarytmem. Wyniesie ona \(\displaystyle{ 1}\). Wracając do tego przykładu możesz wtedy użyć reguły de' Hospitala aby policzyć granicę ułamka. Po przekształceniach będziesz musiał pomnożyć otrzymane wyrażenie przez sprzężenie licznika i mianownika. Po przekształceniach powyciągasz \(\displaystyle{ x}\) przed nawias i skrócisz, policzysz granicę funkcji. Otrzymana granica będzie równa granicy twojego ciągu (bo jest on podciągiem tej funkcji)

[harpun24]

dzięki

[Kacperdev]

Trochę pomarudzę. Mamy tu granicę ciągu, więc z tą regułą Hospitala to przynajmniej jakiś komentarz ładny dlaczego tak, lub skorzystać z granicy specjalnej

jeżeli ciąg \(\displaystyle{ a_n \rightarrow 0}\) to
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \frac{\ln\left( 1+a_n\right) }{a_n} =1}\)

[Straznik Teksasu]

Szybszym sposobem będzie użycie powyższej granicy specjalnej do granicy ciągu, jaką zaproponował Kacperdev.

A reguły de'Hospitala używam do policzenia granicy funkcji a nie ciągu.

[Kacperdev]

Tak, ale stwierdzenie "podciąg funkcji" jest co najmniej dziwne. Tu raczej lepiej odnieść sie do def. granicy funkcji Heinego.

Skoro: \(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty} e^{ \frac{\ln\left( \sqrt{ x^{2}+2x} -x \right) }{ \frac{1}{x} }} =\frac{1}{\sqrt{e}}}\)

to \(\displaystyle{ \forall_\left\{ {a_n \right\} \subseteq D} \left[ \lim_{n \to \infty } a_{n} = \infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty } e^{ \frac{\ln\left( \sqrt{ a_n^{2}+2a_n} -a_n \right) }{ \frac{1}{a_n} }}= \frac{1}{\sqrt{e}}\right]}\)

w szczególności dla \(\displaystyle{ a_n=n}\) uzyskujemy naszą szukaną granicę ciągu.