Prosze o pomoc. Nie mam pojęcia jak pokazać zbieżność szeregów o wyrazach ogólnych:
\(\displaystyle{ 1. (-1)^{n} (e^ \frac{1}{n} -1) \\[1ex]
2. \frac{\ln n}{n^{\frac{5}{4}}}}\).
ciekawe szeregi
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
ciekawe szeregi
1. Zbieżny. \(\displaystyle{ e^{\frac 1 n}}\) zbiega do jedynki, więc po odjęciu \(\displaystyle{ 1}\) - do zera. Ponadto jest malejący (łatwo wykazać albo powołać się na monotoniczność \(\displaystyle{ \exp(x)}\)). Zastosuj kryterium Leibniza.
2. Zbieżny. Wyrazy zbiegają do zera, od pewnego miejsca zresztą monotonicznie, więc możesz zastosować kryterium kondensacyjne.
2. Zbieżny. Wyrazy zbiegają do zera, od pewnego miejsca zresztą monotonicznie, więc możesz zastosować kryterium kondensacyjne.
-
Stoppie
- Użytkownik
- Posty: 46
- Rejestracja: 14 cze 2010, o 22:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ostrów Wlkp.
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 6 razy
ciekawe szeregi
2.
Możesz też udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{ n^{ \frac{5}{4} } } < \frac{ n^{ \frac{1}{5} } }{ n^{ \frac{5}{4} } } = \frac{1}{ n^{ \frac{21}{20} } }}\)
co zachodzi dla odpowiednio dużego n. Można to udowodnić np. szukają ekstremum funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = \ln x - x^{ \frac{1}{5} }}\).
Dalej standardowo z kryterium porównawczego.
Możesz też udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \frac{\ln n}{ n^{ \frac{5}{4} } } < \frac{ n^{ \frac{1}{5} } }{ n^{ \frac{5}{4} } } = \frac{1}{ n^{ \frac{21}{20} } }}\)
co zachodzi dla odpowiednio dużego n. Można to udowodnić np. szukają ekstremum funkcji:
\(\displaystyle{ f(x) = \ln x - x^{ \frac{1}{5} }}\).
Dalej standardowo z kryterium porównawczego.