Przekształcenie liniowe

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek
Podziękował: 10 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: Dzonzi » 8 lut 2016, o 14:04

Mam takie zadanie: Dane jest przekształcenie liniowe \(\displaystyle{ L:\RR^3 \rightarrow \RR^3}\) pkreślone jako:
\(\displaystyle{ L(x,y,z) = (x, 2x+2y,-x-y-z).}\)
Napisz macierz przekształcenia L w bazach standardowych przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^3}\).
Następnie podaj wzór przekształcenia \(\displaystyle{ K = L \circ L}\) oraz wyznacz jej macierz dwoma sposobami:
bezpośrednio z wzoru przekształcenia
poprzez działanie na macierzy przekształcenia \(\displaystyle{ L}\)

Sprawa wygląda tak, że nie wiem w ogóle czym to się je. W książce z której korzystają nasi wykładowcy nie ma mowy o przekształceniach liniowych, a na egzaminie były takie zadania. Był z tego jeden wykład, ale słaby, ćw w ogóle nie było.

Macie jakieś materiały do tego? Albo wytłumaczcie mi co trzeba zrobić. Na necie szukałem ale mało strasznie, i nie to co trzeba. Może znacie jakąś literaturę do tego?
Ostatnio zmieniony 8 lut 2016, o 15:28 przez Kacperdev, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: NogaWeza » 8 lut 2016, o 15:20

Weźmy wektory bazy standardowej w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) (chodzi o tę przestrzeń, z której działamy):

\(\displaystyle{ e_1= (1,0,0), \quad e_2 = (0,1,0), \quad e_3 = (0,0,1)}\), oraz standardowe wektory bazowe przestrzeni, w którą działamy (tak się składa, że to również jest \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)):

\(\displaystyle{ e_1 '= (1,0,0), \quad e_2 ' = (0,1,0), \quad e_3 ' = (0,0,1)}\).

Aby zbudować macierz przekształcenia \(\displaystyle{ L}\) liczymy kolejno \(\displaystyle{ L(e_1), L(e_2), L(e_3)}\), a wynik rozpisujemy jako kombinację liniową wektorów bazowych przestrzeni, w którą prowadzi przekształcenie (czyli jako kombinację liniową wektorów \(\displaystyle{ e_1 ' , e_2 ' , e_3 '}\)). W ogólności \(\displaystyle{ i}\)-tą kolumnę macierzy przekształcenia stanowią współrzędne wektora \(\displaystyle{ L(e_i)}\) wyrażonego jako kombinacja liniowa wektorów bazowych przestrzeni, w którą prowadzi przekształcenie. Jak się to czyta to może wydawać się skomplikowane, jednak nic w tym trudnego. Ja rozpocznę:
\(\displaystyle{ L(e_1) = L(1,0,0) = (1,2,-1) =1 \cdot (1,0,0) + 2 \cdot (0,1,0) - 1 \cdot(0,0,1) =}\)
\(\displaystyle{ = 1 \cdot e_1 ' + 2 \cdot e_2 ' - 1 \cdot e_3 '}\)

Teraz już wiemy, że pierwszą kolumnę macierzy przekształcenia będzie tworzył wektor \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\2\\-1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ L(e_2)}\) oraz \(\displaystyle{ L(e_3)}\) pozostawiam Tobie. Co do wzoru przekształcenia \(\displaystyle{ K}\) się nie wypowiem, bo nie mam wiedzy na ten temat (mogę się jedynie domyślać, że będzie miało to jakiś związek z mnożeniem macierzy, ale to taki intuicyjny strzał na ślepo). Proponuję jednak poszukać w internecie czegoś na temat składania przekształceń liniowych i jakieś informacje na pewno znajdziesz.

Dzonzi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 228
Rejestracja: 8 sty 2016, o 10:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lądek
Podziękował: 10 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: Dzonzi » 8 lut 2016, o 16:50

\(\displaystyle{ L(e_2) = L(0,1,0) = (0,2,-1) = 0 (1,0,0)+ 2(0,1,0) -1(0,0,1) = \left[0,2,-1 \right]}\)
\(\displaystyle{ L(e_3) = L(0,0,1) = (0,0,-1) = -1(0,0,1) = \left[ 0,0,-1\right]}\)

Macierz przekształceń wygląda tak:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1,0,0\\2,2,0\\-1,-1,-1\end{array}\right]}\)

Zgadza się?
Ostatnio zmieniony 8 lut 2016, o 16:56 przez Dzonzi, łącznie zmieniany 3 razy.

NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1477
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Przekształcenie liniowe

Post autor: NogaWeza » 8 lut 2016, o 16:54

Coś mi w \(\displaystyle{ L(e_2)}\) nie pasuje, powinno być \(\displaystyle{ L(0,1,0) = (0,2,-1) = 2 \cdot e_2 ' - 1 \cdot e_3 '}\)

\(\displaystyle{ A_{L} = \left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\2&2&0\\-1&-1&-1\end{array}\right]}\)

ODPOWIEDZ