Całka względem miary - cecha

[Kaef]

Mam dwa przykłady całek, które zastanawiam się jak ruszyć:

1) \(\displaystyle{ \int_{(0,1)} \left[ \frac{1}{\sqrt{x}}\right]dm}\)

2) \(\displaystyle{ \int_{(1,+\infty)} \frac{1}{\left[ x\right] \left[ x+1\right]}l(dx)}\)

Myślałam coś o regule \(\displaystyle{ f=g \quad p.w. \Rightarrow \int_{A} f dm = \int_{A} g dm}\), gdy zbiory punktów, w których są różne mają miarę 0, ale nie wiem, czy to tu. To tylko taka sugestia, bo nic innego mi nie pasuje.

+ jeszcze problem z interpretacją następującej miary \(\displaystyle{ \mu= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n}(l+ \delta_{\frac{1}{2^n}})}\)
Czy ja to mogę zapisać jako \(\displaystyle{ \mu= \frac{4}{3}l+ \sum_{n=0}^{\infty}\delta_{\frac{1}{2^n}}}\)? Jeżeli tak, to potem licząc całkę \(\displaystyle{ d\mu}\) mam po prostu \(\displaystyle{ \frac{4}{3}dl}\), czyli dochodzi mi tylko skalar, który mogę wyciągnąć przed całkę i resztę liczę bez zmian?

[bartek118]

Obydwie funkcje podcałkowe to funkcje proste - zapisz je w postaci odpowiedniej sumy funkcji charakterystycznych.

Ostatnie pytanie - tak, zgadza się.

[Kaef]

A mogę prosić o pomoc z tym zapisem? Bo nie mogę sobie tego uzmysłowić. Przynajmniej jednej, drugą spróbuję sama

[bartek118]

Dla \(\displaystyle{ x \in (k, k+1)}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{\left[ x\right] \left[ x+1\right]} = \frac{1}{k(k+1)}}\). Zbiory jednopunktowe mają miarę Lebesgue'a zero, więc możemy się nie martwić o końce przedziałów. Mamy
\(\displaystyle{ \int_{(1,+\infty)} \frac{1}{\left[ x\right] \left[ x+1\right]}l(dx) = \int_{(1,2)} \frac{1}{1 \cdot 2} l(dx) + \int_{(2,3)} \frac{1}{2 \cdot 3} l(dx) + \ldots = \sum_{k=1}^\infty \int_{(k,k+1)} \frac{1}{k(k+1)} l(dx) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} l((k,k+1)) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)} = \ldots}\)

[Kaef]

To w tym pierwszym przyjmiemy \(\displaystyle{ x \in (0,k)}\) i wtedy będzie \(\displaystyle{ \left[ \frac{1}{\sqrt{x}} \right]= \frac{1}{\sqrt{k}}}\)?

[bartek118]

Nie. Przede wszystkim mamy odcinek \(\displaystyle{ (0,1)}\) do podzielenia. Aby poprawnie to podzielić musisz tak naprawdę odpowiedzieć sobie na pytanie, kiedy \(\displaystyle{ k < \sqrt{\frac{1}{x}} < k+1}\).