Wykazać zachodzenie nierówności

[BKDev]

Z treści zadania mamy:
\(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są nieujemnymi liczbamy rzeczywistymi.
\(\displaystyle{ x \ge y}\)
Muszę wykazać zachodzenie nierówności:
\(\displaystyle{ x^{4} + y^{4} \ge 2xy^{3}}\)

Doszedłem do:
\(\displaystyle{ x(x^{3}-y^{3})+y^{3}(y-x)}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ x \ge y}\), więc jak to udowodnić?
\(\displaystyle{ y^{3}(y-x) \le 0}\), bo \(\displaystyle{ x \ge y}\), więc
\(\displaystyle{ x(x^{3}-y^{3}) \ge y^{3}(y-x)}\)
skąd wyjdzie \(\displaystyle{ x^{4} \ge y^{4}}\)?
To byłoby za łatwe
Pozdrawiam,
BK.

[Premislav]

To nie jest prawdą (przynajmniej nie zawsze). \(\displaystyle{ x=y=2}\) i dostajesz ciekawą nierówność
\(\displaystyle{ 32 \ge 64}\). Może chodziło o
\(\displaystyle{ x^{4} + y^{4} \ge 2xy^{3}}\)? Jeśli tak, to wystarczy \(\displaystyle{ 2xy^{3} \le 2x^{2}y^{2} \le x^{4}+y^{4}}\) - ostatnia nierówność wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną lub ze zwinięcia do \(\displaystyle{ (x^{2}-y^{2})^{2} \ge 0}\)

[BKDev]

Może chodziło o
\(\displaystyle{ x^{4} + y^{4} \ge 2xy^{3}}\)?

Tak, dzięki, poprawiłem

Jeśli tak, to wystarczy \(\displaystyle{ 2xy^{3} \le 2x^{2}y^{2} \le x^{4}+y^{4}}\) - ostatnia nierówność wynika z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną lub ze zwinięcia do \(\displaystyle{ (x^{2}-y^{2})^{2} \ge 0}\)

Czy mój sposób jest też dobry?
(poprawiłem post wyżej)

[Milczek]

\(\displaystyle{ 2xy^{3} \le 2x^{2}y^{2}}\)

To nie jest prawda, \(\displaystyle{ y=3,x=2}\)

[BKDev]

To nie jest prawda, \(\displaystyle{ y=3,x=2}\)

Założeniem jest \(\displaystyle{ x \ge y}\).

[Milczek]

Racja, nie zauważyłem

[kropka+]

\(\displaystyle{ \left( x ^{2}-y ^{2} \right) ^{2} \ge 0 \\ \\
x ^{4}-2x ^{2} y ^{2} +y ^{4} \ge 0 \\ \\
x ^{4}+y ^{4} \ge 2x ^{2} y ^{2} \ge 2xy ^{3}}\)

Ostatnia nierówność zachodzi ponieważ \(\displaystyle{ x \ge y}\)

[Premislav]

BKDev, ja nie rozumiem Twojego sposobu. OK, dochodzisz do \(\displaystyle{ x(x^{3}-y^{3})+y^{3}(y-x)\ge 0}\) i faktycznie prawdą jest to, że \(\displaystyle{ x(x^{3}-y^{3})\ge y^{3}(y-x)}\), ale z tego, że \(\displaystyle{ a\ge 0 \wedge a\ge b}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ a+b\ge 0.}\)

[a4karo]

A może tak:
\(\displaystyle{ x^4+y^4\geq xy^3+x^3y=xy(x^2+y^2)\geq 2xy^3}\)

[BKDev]

BKDev, ja nie rozumiem Twojego sposobu. OK, dochodzisz do \(\displaystyle{ x(x^{3}-y^{3})+y^{3}(y-x)\ge 0}\) i faktycznie prawdą jest to, że \(\displaystyle{ x(x^{3}-y^{3})\ge y^{3}(y-x)}\), ale z tego, że \(\displaystyle{ a\ge 0 \wedge a\ge b}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ a+b\ge 0.}\)

Masz rację. Dopiero teraz zauważyłem mój błąd, dzięki.

\(\displaystyle{ \left( x ^{2}-y ^{2} \right) ^{2} \ge 0 \\ \\
x ^{4}-2x ^{2} y ^{2} +y ^{4} \ge 0 \\ \\
x ^{4}+y ^{4} \ge 2x ^{2} y ^{2} \ge 2xy ^{3}}\)
Ostatnia nierówność zachodzi ponieważ \(\displaystyle{ x \ge y}\)

Ok, logiczne, dzięki

Pozostaje mi jedno pytanie...jak wpaść na sposób rozwiązania?
Gdy próbuję myślenia "out-of-box" nieraz i tak schodzę na to samo rozwiązanie