Przykład z granicą funkcji i ciągu

[x0wnedx]

Witam,
ogólnie rozumiem regułę de L 'Hospitala, umiem się posługiwać pochodnymi, ciągi nie są mi obce. Jednak zawsze trafi się taki przykład nad którym muszę chwilę popracować. W tym wypadku poddaje się

1.
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{ n^{2} +3n+5 }{ n^{2} + 2n -3 } \right) ^{-3n+1}}\)

Wiem, że trzeba tu zastosować regułę granicy nieoznaczonej \(\displaystyle{ 1^{ \infty }}\)
Ale gubię się przy potęgach. Mógłby ktoś nakierować?

2. \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \left( x\left( e^{ \frac{1}{x} } -1\right) \right)}\)
tu kompletnie nie wiem

3. \(\displaystyle{ \lim_{x \to \ \frac{ \pi }{2} } \frac{ \pi }{2} \left( x- \frac{\pi}{2} \right) \cdot \tg x }}\)

z góry dziękuję za pomoc.

[Kacperdev]

Pokaż w pierwszym do w którym momencie się gubisz.

Wskazówka do drugiego:
\(\displaystyle{ x \left( e^{ \frac{1}{x} } -1 \right) = \frac{ e^{ \frac{1}{x} } -1}{\frac{1}{x}}}\).

W trzecim na pewno dobry przykład? Bo tu nie ma granicy.

[dziewczynka90]

Musiało chyba być \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\)
Robisz se z tego sinusa przez cosinusa tak jak się rozpisuje tangensa
Masz sinusa równe 1 bo to znane Kąta \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2}}\) 90 stopni
cosiunus jest 0 i masz nieoznaczonego
i to masz podobne do tej granicy \(\displaystyle{ \frac{\sin{x}}{x}}\) ale nie używasz Hospitala bo nie można:D:D bo jest zapętlenie się z definicja pochodnej

Była na to metoda latwo znaleźć

[x0wnedx]

Zadanie 1. Wpisywanie zajmie mi chyba z pół dnia i nie wiem czy się uda, ale spróbuję.
Mam to rozwiązane w pewien sposób, z którego kompletnie nic nie rozumiem. Jest to bardzo zagmatwane. Może ktoś wyjaśni albo przedstawi lepszy...

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{ n^{2} +3n+5 }{ n^{2} + 2n -3 } \right) ^{-3n+1} = \lim_{n \to \infty } \left( 1+ \frac{1n+8}{ n^{2} +2n-3 } \right) ^{-3n+1} =}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left[ \left( 1+ \frac{-1}{ \frac{ n^{2}+2n-3 }{1n+8} } \right) ^{ \frac{ n^{2}+2n-3 }{1n+8} } \right] ^{ \frac{(1n+8)(-3n+1)}{ n^{2}+2n-3 } } =}\)
Badam teraz granicę wykładnika:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{(1n+8)(-3n+1)}{{ n^{2}+2n-3 }} = -3}\)

Wynik \(\displaystyle{ = e^{-3}}\)


Zadanie 2. Dziękuję za wskazówkę. Stanąłem po obliczeniu pochodnych

\(\displaystyle{ x \left( e^{ \frac{1}{x} } -1 \right) = \frac{ e^{ \frac{1}{x} } -1}{\frac{1}{x}} = \frac{-e ^{x} \cdot x ^{-2} }{- \frac{1}{ x^{2} } }}\)

[Kacperdev]

1) Wynik dobry, ale \(\displaystyle{ \frac{1n+8}{ n^{2} +2n-3 } \neq \frac{-1}{ \frac{ n^{2}+2n-3 }{1n+8} }}\)

Nie granicę pochodnej, tylko granicę wykładnika.

2) Wystarczy skorzystać z granicy specjalnej. \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{a^{x}-1}{x} = \ln a}\)

3) \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} \left( x- \frac{\pi}{2} \right) \cdot \tg x } = \frac{ \pi }{2} \left( x- \frac{\pi}{2} \right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x}}\)

ze wzorów redukcyjnych \(\displaystyle{ \cos x = - \sin\left( x-\frac{\pi}{2}\right)}\)

PS

pisanie \(\displaystyle{ 1n}\) jest nieładne i trochę bezsensu.

[x0wnedx]

Dziękuję. Zadanie 1 już zrozumiałem. Na siłę pisze się "1" bądź "-1" w liczniku aby podstawić do wzoru. Wtedy liczy się granicę wykładnika (a nie pochodnej, przepraszam, literówka) i wynik określa jako \(\displaystyle{ e ^{licznik ^{wartosc_granicy_wykladnika} }}\)

Zadanie 2.
Jestem na etapie \(\displaystyle{ x \left( e^{ \frac{1}{x} } -1 \right) = \frac{ e^{ \frac{1}{x} } -1}{\frac{1}{x}}}\).
Czy w tym momencie mam stosować granicę specjalną \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{a^{x}-1}{x} = \ln a}\) czy po obliczeniu pochodnych?

[Kacperdev]

zauważ, że:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \frac{ e^{ \frac{1}{x} } -1}{\frac{1}{x}}}\)

niech \(\displaystyle{ t= \frac{1}{x}}\) jeżeli \(\displaystyle{ x \rightarrow \infty}\) to \(\displaystyle{ t \rightarrow 0}\)
więc:

\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \frac{ e^{ \frac{1}{x} } -1}{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0 } \frac{ e^{ t } -1}{t}}\)

Innymi słowy do żadnej z tych granic nie potrzeba de l'hospitala.

[x0wnedx]

Szczerze mówiąc nie miałem metody podstawiania przy liczeniu granic, ale wynik chyba oczywisty?

2)
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to \infty } \frac{ e^{ \frac{1}{x} } -1}{\frac{1}{x}} = \lim_{t \to 0 } \frac{ e^{ t } -1}{t} = \ln e}\)

3)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \ \frac{ \pi }{2} } \frac{ \pi }{2} \left( x- \frac{\pi}{2} \right) \cdot \tg x } =\lim_{x \to \ \frac{ \pi }{2} } \frac{ \pi }{2} \left( x- \frac{\pi}{2} \right) \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = \lim_{x \to \ \frac{ \pi }{2} } \frac{ \pi }{2} \left( x- \frac{\pi}{2} \right) \cdot \frac{\sin x}{\ -\sin\left( x-\frac{\pi}{2}\right)}}\)

Dalej nie mam pojęcia.
Jutro mam egzamin, ten przykład na pewno będzie. Jakby ktoś był skory do pomocy... : P byłbym wdzięczny.

Edit: zrobiłem to dalej, ale nie wiem czy dobrze.

\(\displaystyle{ ... = \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \left( \frac{ \pi ^{2} }{2} - \frac{ \pi ^{2} }{4} \right) \cdot \frac{\sin x}{ -\sin( x-\frac{\pi}{2})} =
\lim_{x \to \ \frac{ \pi }{2} } \left( \frac{ 2\pi ^{2} }{4} - \frac{ \pi ^{2} }{4} \right) \cdot \frac{-2}{ \pi } = \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \frac{ \pi }{2} = ???}\)

[Kacperdev]

1) \(\displaystyle{ ... \ln e = 1}\)

3) \(\displaystyle{ ... = \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \frac{ \pi }{2} \left( x- \frac{\pi}{2} \right) \cdot \frac{\sin x}{\ -\sin\left( x-\frac{\pi}{2}\right)} = \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \sin x \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\left( x-\frac{\pi}{2}\right) }{-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}}\)

teraz granica specjalna: \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{x}=1}\)

zatem: \(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \sin x \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\left( x-\frac{\pi}{2}\right) }{-\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)} = \sin \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} \cdot (-1)= 1 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot (-1) =-\frac{\pi}{2}}\)

[x0wnedx]

Heh dziękuję. Edytowałem post w tym samym czasie co przyszła odpowiedź bo jednak światełko w głowie zaświeciło. Doszliśmy do tego samego wyniku, kwestia tego czy mój sposób jest dobry? Wymnożyłem po prostu wszystko co mogłem, skróciło się i został sam wynik \(\displaystyle{ \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \frac{- \pi }{2} =}\)

Nawet teraz nie wiem co z tym zrobić. To jest pierwszy taki przykład w moim życiu, nigdy wcześniej czegoś takiego nie liczyliśmy :/ Wynik będzie po prostu -1? A może 0?

[Kacperdev]

Nie rozumiem co wymnożyłeś i skąd wziąłeś tę granicę. (pełne rozwiązanie masz wyżej).

\(\displaystyle{ ... = \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \left( \frac{ \pi ^{2} }{2} - \frac{ \pi ^{2} }{4} \right) \cdot \frac{\sin x}{ -\sin( x-\frac{\pi}{2})} = \lim_{x \to \ \frac{ \pi }{2} } \left( \frac{ 2\pi ^{2} }{4} - \frac{ \pi ^{2} }{4} \right) \cdot \frac{-2}{ \pi } = \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \frac{ \pi }{2} = ???}\)

Bzdura! Co się stało z \(\displaystyle{ x}\)

[x0wnedx]

Skróciłem \(\displaystyle{ sinx}\) z licznika i mianownika
O w ten sposób:

\(\displaystyle{ ... = \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \left( \frac{ \pi ^{2} }{2} - \frac{ \pi ^{2} }{4} \right) \cdot \frac{\sin x}{ -\sin( x-\frac{\pi}{2})} =\lim_{x \to \ \frac{ \pi }{2} } \left( \frac{ \pi ^{2} }{2} - \frac{ \pi ^{2} }{4} \right) \cdot \frac{sinx}{-sinx + \frac{ \pi }{2} } = \lim_{x \to \ \frac{ \pi }{2} } \left( \frac{ 2\pi ^{2} }{4} - \frac{ \pi ^{2} }{4} \right) \cdot \frac{-2}{ \pi } = \lim_{x \to \frac{ \pi }{2} } \frac{- \pi }{2} = \frac{ -\pi }{2}}\)

kurcze chyba nie można bo dodawanie? :/

[Kacperdev]

uważasz, że:

\(\displaystyle{ \sin\left( a+b\right) = \sin a + b}\) ?????!!!!