Ile wynosi \(\displaystyle{ \ell^*(V)}\), gdzie \(\displaystyle{ V}\) to zbiór Vitaliego?
Podobno wychodzi \(\displaystyle{ 1}\), ale dlaczego?
Miara zewnętrzna zbioru Vitaliego.
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Miara zewnętrzna zbioru Vitaliego.
Ha! Problem w tym, że nie wiadomo, jak zbiór Vitaliego wygląda.
Przypomnijmy definicję: na \(\displaystyle{ [0, 1]}\) wprowadzamy relację równoważności
\(\displaystyle{ x \sim y}\) gdy \(\displaystyle{ x - y \in \QQ.}\)
Zbiór Vitaliego \(\displaystyle{ V}\) powstaje przez wybranie z każdej klasy abstrakcji dokładnie jednego elementu, tzn. \(\displaystyle{ V}\) jest selektorem rodziny
\(\displaystyle{ [0, 1] / {\sim} = \{ [x]_{\sim} : x \in [0, 1] \}.}\)
Przynajmniej jeden taki selektor istnieje na mocy aksjomatu wyboru. Ale tak naprawdę jest ich bardzo dużo! Przykładowo, dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje zbiór Vitaliego zawarty w przedziale \(\displaystyle{ [0, \varepsilon],}\) bo
\(\displaystyle{ \{ [0, \varepsilon] \cap [x]_{\sim} : x \in [0, 1] \}}\)
także jest rodziną niepustych, parami rozłącznych zbiorów, a więc posiada selektor. Wówczas
\(\displaystyle{ \ell^*( V ) \le \varepsilon,}\)
ale trudno powiedzieć, ile ta miara zewnętrzna dokładnie wynosi.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Na pewno nie zero, bo wtedy ten zbiór byłby mierzalny.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Ale niekoniecznie też \(\displaystyle{ \varepsilon,}\) bo być może przypadkiem jest to również selektor rodziny mniejszych zbiorów \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{1}{2} \varepsilon \right] \cap [x]_{\sim}.}\)
Przypomnijmy definicję: na \(\displaystyle{ [0, 1]}\) wprowadzamy relację równoważności
\(\displaystyle{ x \sim y}\) gdy \(\displaystyle{ x - y \in \QQ.}\)
Zbiór Vitaliego \(\displaystyle{ V}\) powstaje przez wybranie z każdej klasy abstrakcji dokładnie jednego elementu, tzn. \(\displaystyle{ V}\) jest selektorem rodziny
\(\displaystyle{ [0, 1] / {\sim} = \{ [x]_{\sim} : x \in [0, 1] \}.}\)
Przynajmniej jeden taki selektor istnieje na mocy aksjomatu wyboru. Ale tak naprawdę jest ich bardzo dużo! Przykładowo, dla każdego \(\displaystyle{ \varepsilon > 0}\) istnieje zbiór Vitaliego zawarty w przedziale \(\displaystyle{ [0, \varepsilon],}\) bo
\(\displaystyle{ \{ [0, \varepsilon] \cap [x]_{\sim} : x \in [0, 1] \}}\)
także jest rodziną niepustych, parami rozłącznych zbiorów, a więc posiada selektor. Wówczas
\(\displaystyle{ \ell^*( V ) \le \varepsilon,}\)
ale trudno powiedzieć, ile ta miara zewnętrzna dokładnie wynosi.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Na pewno nie zero, bo wtedy ten zbiór byłby mierzalny.
\(\displaystyle{ \bullet}\) Ale niekoniecznie też \(\displaystyle{ \varepsilon,}\) bo być może przypadkiem jest to również selektor rodziny mniejszych zbiorów \(\displaystyle{ \left[ 0, \frac{1}{2} \varepsilon \right] \cap [x]_{\sim}.}\)
-
lelel555
- Użytkownik
- Posty: 67
- Rejestracja: 21 paź 2012, o 20:56
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 7 razy
Miara zewnętrzna zbioru Vitaliego.
No dobra, ale jeszcze do końca nie zrozumiałem:
• przez \(\displaystyle{ V_\varepsilon}\) oznaczmy zbiór Vitaliego z odcinka \(\displaystyle{ [0,\varepsilon]}\).
• czyli wychodzi dla każdego \(\displaystyle{ V_\varepsilon}\) nie da się dobrać takiego \(\displaystyle{ V_e}\) -- zbioru Vitaliego z [0,1], że \(\displaystyle{ V_e \supset V_\varepsilon \wedge V_e \neq V_\varepsilon}\) ? (chodzi mi o to, że jak już wybierzemy Vitaliego z \(\displaystyle{ [0,\varepsilon]}\), to nie można go istotnie poszerzyć o jakieś elementy z \(\displaystyle{ [ \varepsilon,1]}\) ?)
(jeśli to coś zmienia, to załóżmy, że \(\displaystyle{ \varepsilon}\) jest jakąś liczbą postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \{0,1\}}\) )
• przez \(\displaystyle{ V_\varepsilon}\) oznaczmy zbiór Vitaliego z odcinka \(\displaystyle{ [0,\varepsilon]}\).
• czyli wychodzi dla każdego \(\displaystyle{ V_\varepsilon}\) nie da się dobrać takiego \(\displaystyle{ V_e}\) -- zbioru Vitaliego z [0,1], że \(\displaystyle{ V_e \supset V_\varepsilon \wedge V_e \neq V_\varepsilon}\) ? (chodzi mi o to, że jak już wybierzemy Vitaliego z \(\displaystyle{ [0,\varepsilon]}\), to nie można go istotnie poszerzyć o jakieś elementy z \(\displaystyle{ [ \varepsilon,1]}\) ?)
(jeśli to coś zmienia, to załóżmy, że \(\displaystyle{ \varepsilon}\) jest jakąś liczbą postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ n \in \NN \setminus \{0,1\}}\) )
-
Dasio11
- Moderator
- Posty: 10305
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2429 razy
Miara zewnętrzna zbioru Vitaliego.
Nie można, bo \(\displaystyle{ V_{\varepsilon}}\) jest selektorem rodziny \(\displaystyle{ \{ [0, \varepsilon] \cap [x]_{\sim} : x \in [0, 1] \}.}\) Jeśli więc dodamy do niego jakikolwiek element, to przekrój nowego zbioru z klasą abstrakcji tego elementu nie będzie już jednoelementowy, więc ten zbiór nie będzie selektorem rodziny \(\displaystyle{ [0, 1] / {\sim}.}\)
Każdy zbiór Vitaliego można otrzymać z każdego innego przez przesuwanie elementów o liczby wymierne (co odpowiada po prostu wybraniu innych elementów klasy abstrakcji). Nie można nic dodać ani odjąć.
Każdy zbiór Vitaliego można otrzymać z każdego innego przez przesuwanie elementów o liczby wymierne (co odpowiada po prostu wybraniu innych elementów klasy abstrakcji). Nie można nic dodać ani odjąć.