Granica ciągu - studia

[brun]

Jeśli ktoś mógłby je rozwiązać krok po kroku byłbym wdzięczny.
Oblicz granice ciągów:

1) \(\displaystyle{ a{n}=-6+ \frac{9}{n}+ \frac{6}{ n^{2} }}\)

2) \(\displaystyle{ a{n}=-n^{2}-4n+4}\)

3) \(\displaystyle{ a{n}=\frac{2n^{2}-n+1}{ 4n^{2}-6n-4}}\)

4) \(\displaystyle{ a{n}= \sqrt{ n^{2}+2n }- \sqrt{n^{2}+n}}\)

5) \(\displaystyle{ a{n}= \left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{2n}}\)

[binio]

Jeśli ktoś mógłby je rozwiązać krok po kroku byłbym wdzięczny.
Oblicz granice ciągów:

1) \(\displaystyle{ a{n}=-6+ \frac{9}{n}+ \frac{6}{ n^{2} }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_{n} = -6 + 0 + 0 = -6}\)

-- 2 lut 2016, o 06:55 --

2) \(\displaystyle{ a{n}=-n^{2}-4n+4}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} n^2(-1 -\frac{4}{n} + \frac{4}{n^2}) = \infty \cdot (-1-0+0) = -\infty}\)

-- 2 lut 2016, o 06:58 --

3) \(\displaystyle{ a{n}=\frac{2n^{2}-n+1}{ 4n^{2}-6n-4}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{n^2(2 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2})}{n^2(4 - \frac{6}{n} - \frac{4}{n^2})} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}}\)

-- 2 lut 2016, o 07:25 --

5) \(\displaystyle{ a{n}= \left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{2n}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} [(1+\frac{1}{n})^{n - 7}]^{2} = \lim_{n\to\infty}[(1+\frac{1}{n})^{n} \cdot \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^{7}}]^{2} = (e \cdot 1)^{2} = e^{2}}\)

[Ania221]

binio, czy mógłbyś wyjaśnić, dlaczego zamiast granicy ciągu

\(\displaystyle{ a_n=\left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{2n}}\)

Policzyłeś granicę ciągu \(\displaystyle{ b_n=(1+\frac{1}{n})^{2n - 7}}\) ?

Ja bym to zrobila tak:

\(\displaystyle{ a_n=\left ( \left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{n+7}\right)^2 \cdot \left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{-14}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left ( \left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{n+7}\right)^2 \cdot \left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{-14}=e^2 \cdot 1=e^2}\)


4)

\(\displaystyle{ a_n=\sqrt{ n^{2}+2n }- \sqrt{n^{2}+n}= \frac{(\sqrt{ n^{2}+2n }- \sqrt{n^{2}+n})(\sqrt{ n^{2}+2n }+ \sqrt{n^{2}+n})}{\sqrt{ n^{2}+2n }+ \sqrt{n^{2}+n}}= \frac{n^2+2n-n^2-n}{\sqrt{ n^{2}+2n }+ \sqrt{n^{2}+n}}= \frac{n}{n( \sqrt{1+ \frac{2}{n} }+ \sqrt{1+ \frac{1}{n} }) }}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n( \sqrt{1+ \frac{2}{n} }+ \sqrt{1+ \frac{1}{n} }) }= \frac{1}{2}}\)

[binio]

binio, czy mógłbyś wyjaśnić, dlaczego zamiast granicy ciągu

\(\displaystyle{ a_n=\left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{2n}}\)

Policzyłeś granicę ciągu \(\displaystyle{ b_n=(1+\frac{1}{n})^{2n - 7}}\) ?

Ja bym to zrobila tak:

\(\displaystyle{ a_n=\left ( \left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{n+7}\right)^2 \cdot \left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{-14}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left ( \left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{n+7}\right)^2 \cdot \left( 1+ \frac{1}{n+7} \right) ^{-14}=e^2 \cdot 1=e^2}\)

Dlaczego ciagu \(\displaystyle{ b_{n}}\)

Zmniejszylem mianownik wiec nalezy zmniejszyc rowniez wykladnik potegi a poniewaz n dazy do nieskonczonosci granica sie nie zmieni.

[Ania221]

Czyli wg Ciebie te ciągi są sobie równe?

\(\displaystyle{ a_n=b_n}\) ?

Granica sie nie zmieni, ale czy to jest poprawne?

[binio]

Nie te ciagi nie sa sobie rowne tylko maja taka sama granice.

Sam sie nad tym dlugo zastanawialem jak sie uczylem liczenia granic i w sumie to tez wydaje mi sie to malo logiczne, ale gdy n dazy do nieskonczonosci to mozemy taki trik podobno zastosowac. Wazne ze dziala

Masz tu filmik gdzie, koles stosuje podobna metode:

Kod: Zaznacz cały

https://www.youtube.com/watch?v=_uh7IZHZbkQ

[leg14]

binio, Wiele rzeczy dziala, pomimo tego , ze sa niewlasciwe.
Na filmiku ciag \(\displaystyle{ a_n}\) zostaje zamieniony na \(\displaystyle{ a_{n+5}}\)
Wystarczy sie chwile zastanowic, by uznac, ze nie ma to wplywu na zbieznosc - po prostu ,,ucinamy" poczatkowy kawalek ciagu.

No wiec w tym konkretnym wypadku powinno to wygladac tak:
\(\displaystyle{ b_n=(1+\frac{1}{n})^{2(n - 7)}}\)
Mala roznica, ale w pewnych wypadkach taki blad dalby niepoprawny wynik.

Plus w tym wypadku nie ,,ucinamy" ciagu tylko dodajemy pare pierwszych wyrazow, zeby uzyskac bardziej elegancka forme wzoru. Analogicznie jak uciecie , dodanie kilku wyrazow na poczatku nie wplywa na zbieznosc.