Zastosowanie pochodnej funkcji - studia

[brun]

Jeśli ktoś mógłby je rozwiązać krok po kroku byłbym wdzięczny.

Przykład 1
Napisz równianie stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}+4x-6}\) w punkcie odciętej \(\displaystyle{ x_{0}=2}\).


Przykład 2
Wyznacz przedziały monotoniczności oraz zbadaj ekstrema funkcji: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{3} x^{3}+ \frac{1}{2} x^{2} - 2x-2}\)

Przykład 3
Wykorzystując pochodną funkcji wyznacz najmniejszą oraz największą wartość funkcji: \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-4x+4}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,4\right]}\)

[binio]

Jeśli ktoś mógłby je rozwiązać krok po kroku byłbym wdzięczny.

Przykład 1
Napisz równianie stycznej do wykresu funkcji \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}+4x-6}\) w punkcie odciętej \(\displaystyle{ x_{0}=2}\).

\(\displaystyle{ f'(x) = 2x+4}\)

\(\displaystyle{ f(2) = 4 + 8 - 6 = 6}\)
\(\displaystyle{ f'(2) = 4 + 4 = 8}\)

\(\displaystyle{ y - f(x_{0}) = f'(x_{0})(x - x_{0})}\)
\(\displaystyle{ y - 6 = 8(x - 2)}\)
\(\displaystyle{ y = 8x - 16 + 6}\)
\(\displaystyle{ y = 8x-10}\)

-- 2 lut 2016, o 05:39 --

Przykład 2
Wyznacz przedziały monotoniczności oraz zbadaj ekstrema funkcji: \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{3} x^{3}+ \frac{1}{2} x^{2} - 2x-2}\)

\(\displaystyle{ f'(x) = x^2 + x - 2}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 1+8 = 9}\)

\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{-1-3}{2} = -2}\)
\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{-1+3}{2} = 1}\)

\(\displaystyle{ f'(-3) = 9 - 3 - 2 = 4}\)
\(\displaystyle{ f'(0) = -2}\)
\(\displaystyle{ f'(3) = 9+3-2 = 10}\)

funkcja rosnie w przedziale \(\displaystyle{ xin(-infty; -2]cup[1; infty)}\)
funkcja maleje w przedziale \(\displaystyle{ x \in [-2; 1]}\)-- 2 lut 2016, o 05:45 --

Przykład 3
Wykorzystując pochodną funkcji wyznacz najmniejszą oraz największą wartość funkcji: \(\displaystyle{ f(x)= x^{2}-4x+4}\) w przedziale \(\displaystyle{ \left[ 0,4\right]}\)

\(\displaystyle{ f'(x) = 2x-4}\)

\(\displaystyle{ 2x = 4}\)
\(\displaystyle{ x = 2}\)

\(\displaystyle{ f(2) = 4-8+4 = 0}\)
\(\displaystyle{ f(0) = 4}\)
\(\displaystyle{ f(4) = 16-16+4 = 4}\)

Najwieksza wartosc w przedziale to 4 a najmniejsza to 0