Metoda Eulera Niejawna

[arcyk13]

Witam mam problem z rozwiązaniem takiego zadani metodą Niejawną Eulera:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=xy- y^{2}

x \in <1;2>
h=0,5
y(1)=2}\)

Ja rozumiem to tak że podstawiam y=2 i x=1,5 do wzoru:

\(\displaystyle{ y _{1}=y_{0}+hf(x_{1};y_{1})}\)

Następnie wyliczam deltę i dalej liczę w ten sam sposób dla kolejno wyliczonych y, jednak kiedy zrobiłem tak na kolokwium okazało się że jest to źle, czy wyprowadzi mnie ktoś z błędu?
Z góry serdecznie dziękuję.

[mdd]

Zrób tutaj (przynajmniej dwa kroki) dokładnie tak jak na kolokwium to zrobiłeś. Wtedy zobaczymy.

[arcyk13]

Poniżej przesyłam zdjęcie z rozwiązanymi dwoma krokami.
Niestety nie może okreslić wymiarów obrazka zatem wrzucam link do niego.

[mdd]

Jest problem; obliczenia na tym forum przedstawiamy przy użyciu \(\displaystyle{ \LaTeX-a}\) (patrz regulamin).

[arcyk13]

Proszę przepisane:

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=xy-y^{2}
x \in <1;2> h=0,5 y(1)=2}\)

\(\displaystyle{ y _{1}=y_{0}+hf(x_{1};y_{1})}\)
\(\displaystyle{ y _{1}=2+0,5(1,5y _{1}-y _{1}^{2})}\)
przekształcam...
\(\displaystyle{ 2y _{1}^{2}+y _{1}-8=0}\)

\(\displaystyle{ delta=1-4*2*(-8)=65}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{delta}= \sqrt{65}}\)

\(\displaystyle{ y_{11}= \frac{-1-\sqrt{65}}{4}
y_{12}= \frac{-1+\sqrt{65}}{4}}\)



Dla \(\displaystyle{ y_{11}}\)
\
\(\displaystyle{ y _{2}=y_{1}+hf(x_{2};y_{2}) \\
y _{2}=\frac{-1-\sqrt{65}}{4}+0,5(2y _{1}-y _{1}^{2})}\) \
przekształcam... \
\(\displaystyle{ y_{2}^{2}+frac{1+sqrt{65}}{4}=0 \
delta=0-4*frac{1+sqrt{65}}{4}=2*(1+sqrt{65})\
sqrt{delta}= sqrt{2(1+sqrt{65})} i\
\
y_{21}= frac{-sqrt{2(1+sqrt{65})} i}{2}\
y_{22}= frac{sqrt{2(1+sqrt{65})} i}{2}\

\
\
\
Dla y_{12}\
\
y _{2}=y_{1}+hf(x_{2};y_{2})\
y _{2}=frac{-1+sqrt{65}}{4}+0,5(2y _{1}-y _{1}^{2})[\
przekształcam...\
y_{2}^{2}+frac{1-sqrt{65}}{4}=0 \
\
delta=0-4*frac{1-sqrt{65}}{4}=2*(-1+sqrt{65})\
sqrt{delta}= sqrt{2(-1+sqrt{65})} \
\
y_{21}= frac{-sqrt{2(-1+sqrt{65})}}{2}\
y_{22}= frac{sqrt{2(-1+sqrt{65})}}{2}}\)

[mdd]

\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx}=xy-y^{2}, \ \
x \in <1;2> \ \ h=0,5 \ \ y(1)=2}\)

\(\displaystyle{ y _{1}=y_{0}+h f(x_{1},y_{1})}\)
\(\displaystyle{ y _{1}=2+0,5 \cdot (1,5y _{1}-y _{1}^{2})}\)
przekształcam...
\(\displaystyle{ 2y _{1}^{2}+y _{1}-8=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta_{1}=1-4 \cdot 2 \cdot (-8)=65}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta_{1}}= \sqrt{65}}\)

\(\displaystyle{ y_{1}= \frac{-1+\sqrt{65}}{4} \approx 1,7656}\)

Drugi pierwiastek równania \(\displaystyle{ 2y _{1}^{2}+y _{1}-8=0}\):
\(\displaystyle{ \frac{-1-\sqrt{65}}{4} \approx -2,2656}\)
może Kolega wyrzucić do kosza.

[arcyk13]

Dziękuję za odpowiedź. Czyli mam rozumieć że jedynym błędem to jest to że w dalszych obliczeniach należy brać tylko rozwiązania dodatnie, czy nie liczyć dla delty ujemnej?

[mdd]

Błędem podstawowym (wręcz rażącym) było to, że Kolega takie "drzewko" rozwiązań utworzył. Przecież oczekujemy jednego rozwiązania. Jeśli równanie jest rozwiązywane różnymi metodami numerycznymi, to choć rozwiązania przybliżone będą nieco różne dla różnych metod, to różnice mają się zacierać w miarę zmniejszania kroku całkowania.

w dalszych obliczeniach należy brać tylko rozwiązania dodatnie, czy nie liczyć dla delty ujemnej?

Trochę w tym poezji . Nie za bardzo wiem co znaczy "rozwiązanie dodatnie" w tym kontekście. Jeśli chodzi o ujemną deltę, to wiemy, że pierwiastków rzeczywistych wtedy nie ma.

Zasada jest jedna: bierzemy to rozwiązanie, które jest najmniej odległe od wartości \(\displaystyle{ y}\) z poprzedniego kroku (ew. od wartości początkowej, jeśli wykonujemy pierwszy krok). Jeśli Kolega radykalnie zmniejszy krok całkowania \(\displaystyle{ h}\), to się okaże, że drugi pierwiastek będzie zupełnie "od czapy", wtedy nie ma najmniejszych wątpliwości który pierwiastek równania wybrać.