Ekstrema funkcji dwóch zmiennych

[sakilpl]

Witam,
mam następującą funkcję:
\(\displaystyle{ f(x,y) = (x-y)^{2} + (y-1)^{3}}\)
Mam znaleźć, o ile istnieją, ekstrema tej funkcji

\(\displaystyle{ f^{\prime}_{x} = 2(x-y)}\)
\(\displaystyle{ f^{\prime}_{y} = 2(y-x) -3(y-1)^{2}}\)

Z przyrównania obu pochodnych do zera dostaję wpsółrzędne punktu, który może być ekstremum tj.: \(\displaystyle{ (1,1)}\)

\(\displaystyle{ f^{\prime}_{xx} = 2}\)
\(\displaystyle{ f^{\prime}_{yy} = 2-6(y-1)}\)
\(\displaystyle{ f^{\prime}_{xy} = f^{\prime}_{yx} = -2}\)

Po wpisaniu pochodnych 2. rzędu do wyznacznika i policzeniu jego wartości dla pkt \(\displaystyle{ (1,1)}\) wyznacznik wychodzi zero. Zatem powinienem zbadać ekstremum z definicji. Teraz mam wątpliwości czy dobrze robię.

Dla prostej x = y wzór funkcji upraszcza się do: \(\displaystyle{ f(y) = (y-1)^3}\)

Funkcja ta nie ma w \(\displaystyle{ (1,1)}\) ekstremum. Czy mogę stąd wyciągnąć wniosek, że \(\displaystyle{ f(x,y)}\) też nie ma tam ekstremum? A co jeśli funkcja miałaby ekstremum w (1,1)? Jak tego dowieść?

[a4karo]

Czy mogę stąd wyciągnąć wniosek, że \(\displaystyle{ f(x,y)}\) też nie ma tam ekstremum? A co jeśli funkcja miałaby ekstremum w (1,1)? Jak tego dowieść?

Wniosek poprawny.

Gdyby było ekstremum wzdłuż prostej \(\displaystyle{ x=y}\), to stąd by nic nie wynikało. (spójrz jak wygląda ta funkcja wzdłuż prostej \(\displaystyle{ y=1}\))

[sakilpl]

A co w przypadku gdybym wiedział, że dana funkcja ma ekstremum w danym punkcie jednak wyznacznik pochodnych zeruje się w tym punkcie? Jak wtedy mógłbym wykazać istnienie ekstremum?

[a4karo]

Czasem wystarczy przyjrzeć się postaci funkcji, czasem pomaga rozwinięcie w szereg... Nie znam uniwersalnej metody