Czy struktura jest ciałem?

[Edward W]

Zbadać, czy dana struktura jest ciałem.

\(\displaystyle{ (\mathbb{Q}(\sqrt{2}), +, *)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) := \{q\in\mathbb{R}: q = a +b\sqrt{2}, a, b \in\mathbb{Q}\}}\)

Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś mógłby mi powiedzieć, czy moje kroki są poprawne.

Najpierw sprawdzę, czy struktura \(\displaystyle{ (\mathbb{Q}(\sqrt{2}), +)}\) jest grupą abelową.

\(\displaystyle{ p+q = a_{1}+b_{1}\sqrt{2} + a_{2}+b_{2}\sqrt{2} = (a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\sqrt{2}}\)

Suma składników wymiernych jest również liczbą wymierną, dlatego \(\displaystyle{ (a_{1}+a_{2})}\) oraz
\(\displaystyle{ (b_{1}+b_{2})}\) są liczbami wymiernymi, czyli działanie to jest wewnętrzne.

Struktura

Łączność:
\(\displaystyle{ (p+q)+r = (a_{1}+a_{2}+a_{3})+(b_{1}+b_{2}+b_{3})\sqrt{2} = p+(q+r)}\)
Działanie + jest łączne.

Przemienność:
\(\displaystyle{ p+q = a_{1}+b_{1}\sqrt{2} + a_{2}+b_{2}\sqrt{2} = (a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})\sqrt{2} = q+p}\)
Działanie to jest przemienne.

Element neutralny:
\(\displaystyle{ p+e=p \iff a_{e}+b_{e}\sqrt{2} = 0\iff a_{e} = 0 \wedge b_{e} = 0 \iff e+p=p}\)
Działanie posiada element neutralny: \(\displaystyle{ a_{e}+b_{e}\sqrt{2} = 0}\)

Inwers:
\(\displaystyle{ p+b=e \iff a_{b}+b_{b}\sqrt{2} = -(a_{1}+b_{1}\sqrt{2}) \iff b+p=e}\)
Działanie to posiada inwers:\(\displaystyle{ a_{b}+b_{b}\sqrt{2} = -(a_{1}+b_{1}\sqrt{2})}\)

Struktura\(\displaystyle{ (\mathbb{Q}(\sqrt{2}), +)}\) jest więc grupą abelową.


Teraz zajmę się działaniem \(\displaystyle{ (\mathbb{Q}(\sqrt{2})\setminus\{0\}, *)}\), aczkolwiek tutaj może już podam tylko do oceny element neutralny oraz inwers, które udało mi się obliczyć, celem sprawdzenia, czy dobrze to wykonałem, struktura ta jest oczywiście grupą:

Element neutralny:
\(\displaystyle{ a_{e}+b_{e} = 1}\)
Inwers:
\(\displaystyle{ a_{b}+b_{b}\sqrt{2}=\frac{1}{a_{1}+b_{1}\sqrt{2}}}\)

No i właściwie pasowało by sprawdzić rozdzielność działania * względem działania +, ale nie bardzo wiem jak formalnie powinno to wygladać...

Z góry dziękuję za pomoc

[Spektralny]

Łatwiej sprawdzić, że \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) jest podciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), wówczas możesz darować sobie te żmudne rachunki.

[Naed Nitram]

Wygląda ok, ale element:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1+b_1\sqrt 2}}\)

nie jest póki co postaci \(\displaystyle{ a+b_1\sqrt 2}\). Trzeba usunąć niewymierność w mianowniku:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a_1+b_1\sqrt 2}=\frac{a_1-b_1\sqrt 2}{(a_1-b_1\sqrt 2)(a_1+b_1\sqrt 2)}=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{a_1-b_1\sqrt 2}{a_1^2-2b_1^2}=\frac{a_1}{a_1^2-2b_1^2}-\frac{b_1}{a_1^2-2b_1^2}\sqrt 2\in\QQ(\sqrt 2)}\).

Jest to zresztą jedyny rachunek, który trzeba przeprowadzić, bo własności działań w pierścieniu \(\displaystyle{ \QQ[\sqrt 2]}\) pochodzą od własności działań w pierścieniu wielomianów \(\displaystyle{ \QQ[x]}\).

[Edward W]

Pierścieni na razie nie braliśmy i wygląda na to, że przez jakiś czas ich nie będzie - poszliśmy dalej i przerabiamy teraz liczby zespolone po omówieniu jedynie grup i ciał.

A czy byłby ktoś w stanie pomóc mi z tą rozdzielnością działania * względem działania +?
Niestety nie odbyły się zajęcia, na ktorych powinniśmy przerobić ciała i po prostu poszliśmy dalej z materiałem pomijając ten temat...

[Tomaszko]

No i właściwie pasowało by sprawdzić rozdzielność działania * względem działania +, ale nie bardzo wiem jak formalnie powinno to wygladać...

Niech \(\displaystyle{ p,q,r \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\)
Sprawdź, czy zachodzą następujące warunki:

\(\displaystyle{ p*(q+r)=p*q+p*r}\)
\(\displaystyle{ (p+q)*r=p*r+q*r}\)

Jeśli tak, to działanie \(\displaystyle{ *}\) jest rozdzielne względem działania \(\displaystyle{ +}\).

[Edward W]

Warunki te będą spełnione, jeśli \(\displaystyle{ p*q+p*r}\) oraz \(\displaystyle{ p*r+q*r}\) będą działaniami wewnętrznymi w \(\displaystyle{ \mathbb{Q}(\sqrt{2})}\) w przypadku tego konkretnego przykładu, zgadza się?

[Tomaszko]

Dokładnie tak

[proudPolak]

Witam, odświeżam temat, ponieważ mam wątpliwość co do sprawdzenia łączności oraz przemienności.

Czy przedstawiony przez Autora tok rozumowania jest WYSTARCZAJĄCY?