Metoda Clebscha - belka utwierdzona

[djoaza]

Dane:
\(\displaystyle{ EI=const.\\
\alpha \le 7.7^o}\)

Dla takiej belki jak powyżej mam wyznaczyć równanie linii ugięcia i warunki brzegowe.
Mam takie równanie ugięcia:
\(\displaystyle{ y(x)=y(0)+y'(0)+y''(0)\frac{x^2}{2}+y'''(0)\frac{x^3}{6}+\frac{q^4}{24EI}+\left | \right |_l-\alpha(x-l)+P\frac{(x-l)^3}{6EI}-\frac{q(x-l)^4}{24EI}}\)

Moje pytanie jest do czego są nam potrzebne warunki brzegowe ?

Dziękuje

[kruszewski]

Do wyboru krzywej. Jak stałej dla całki.

[djoaza]

Hmy. Rozumiem, że w tym równaniu
\(\displaystyle{ y(0)}\) - ugięcie początkowe
pierwsza pochodna - początkowy kąt obrotu
druga pochodna - początkowy moment zginający
trzecia pochodna - początkowa siła tnąca
?

[kruszewski]

A co z jednostkami każdego składnika tej sumy?

[djoaza]

Ciężko mi cokolwiek powiedzieć bo uczę się tej metody i za bardzo nic o niej nie wiem, a w internecie za dużo o tym nie ma .
Korzystam z

Kod: Zaznacz cały

http://kmm.p.lodz.pl/dydaktyka/zb_zad/WM0500.pdf

Kod: Zaznacz cały

http://kmm.p.lodz.pl/dydaktyka/zb_zad/WM0508.pdf

W przykładzie nie widzę żadnych warunków brzegowych. Za bardzo nie wiem jak się do tego zabrać by to zrozumieć.

[kruszewski]

Zaproponowałbym na początek prześledzenie sposobu rozwiązywania takich równań zaproponowany przez Clebscha. Jest to sposób, metoda rozwiązywania równań różniczkowych, inaczej poszukiwania całki równania.

[djoaza]

Warunki brzegowe opisują takie miejsca w konstrukcji, w których mamy 100% pewność ich niezmienności (podpory).

A czego jesteśmy w 100% w takich zadaniach. Że ugięcie początkowe w podporach i miejscach utwierdzenia jest równa 0, coś jeszcze ?-- 20 sty 2016, o 22:05 --To weźmy takie zadanie



\(\displaystyle{ R_A=R_B=P}\)
Dla pierwszego przedziału do l:
\(\displaystyle{ y(x_1)=y_0+\Theta _0x_1+\frac{M_0}{2EJ}x_1^2+\frac{T_0}{6EJ}x_1^3+\frac{q_0}{24EJ}x_1^4}\)
Parametry początkowe wynoszą:
\(\displaystyle{ y_{x_1}=0; \ \ \ \Theta x_1\neq 0; \ \ \ \ M_{x_1}=0; \ \ \ \ T_{x_1}=P; \ \ \ \ q_{x_1}=0}\)
Równanie linii ugięcia dla przedziału pierwszego to:
\(\displaystyle{ y(x_1)=\Theta_x_1-\frac{P^3}{6EJ}x_1^3}\)

Analogicznie dla drugiego przedziału do 2l:
\(\displaystyle{ y(x_2)=y(x_2)+\Theta x_2+\frac{(x-2l)^3}{6EJ}\cdot P}\)

Teraz pytanie czy dobrze jest wyznaczony przedział drugi kąt obrotu i ugięcie początkowe jest nieznane dla nas ?

[kruszewski]

Jak Kolega uzasadni to:
\(\displaystyle{ {(x-2l)^3}}\) ?

Przyrost siły poprzecznej \(\displaystyle{ \Delta T = P}\) a jej moment względem przekroju odległego "od początku belki" to \(\displaystyle{ P \cdot (x-l)}\)

początkowe ugięcie jest nam znane i równe zero bo podpora \(\displaystyle{ A}\) nie pozwala na zmianę wysokości położenia przekroju nad nią choć pozawala na poziomy jego przesuw. Zatem
\(\displaystyle{ y_0=0}\)

[djoaza]

Jak Kolega uzasadni to:
\(\displaystyle{ {(x-2l)^3}}\) ?

Przyrost siły poprzecznej \(\displaystyle{ \Delta T = P}\) a jej moment względem przekroju odległego "od początku belki" to \(\displaystyle{ P \cdot (x-l)}\)

początkowe ugięcie jest nam znane i równe zero bo podpora \(\displaystyle{ A}\) nie pozwala na zmianę wysokości położenia przekroju nad nią choć pozawala na poziomy jego przesuw. Zatem
\(\displaystyle{ y_0=0}\)

Mam coś takiego w zeszycie jak mnożniki obciążeń:

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/3LCy/

Tylko bym poprawił w liczniku na:
\(\displaystyle{ (x-l)^3}\)

[kruszewski]

I o to rzecz idzie.
A tak w ogóle, to warto prześledzić ten sposób i jego zapis. Szczególnie warte jest uwadze to, że w kolejnych przedziałach mowa jest o przyrostach momentu zginającego spowodowanego "przyrostem" nowych sił poprzecznych, nowych momentów skupionych czy momentów od obciążenia ciągłego i dodawania ugięć nimi spowodowanych w tym przedziale do ugięć w poprzednich przedziałach.
Proszę zwrócić uwagę na indeksy przy zmiennej \(\displaystyle{ x_1, x_2. ...}\)
To stanowi qlou tej metody.
Nie jest to metoda 'intuicyjna" na nawet trzeci rzut okiem.

[djoaza]

To równanie linii ugięcia belki to:
\(\displaystyle{ y(x)=\Theta_x_1-\frac{P}{6EJ}x_1^3+\frac{(x-l)^3}{6EJ}\cdot P-\frac{(x-2l)^3}{6EJ}\cdot P}\)
Warunki brzegowe:
\(\displaystyle{ y(l)=y(3l)=0}\)

Dobrze jest ?

[kruszewski]

Ciut nie tak.
Dla \(\displaystyle{ x=0}\) , \(\displaystyle{ y=0}\)
\(\displaystyle{ x}\) jest bieżącą odległością przekroju od początku belki. Zaś \(\displaystyle{ l}\) jest tu odległością przyłożenia pierwsze siły. Może być odległością od której rozpoczyna się obciążenie ciągłe, albo przyłożony jest moment skupiony zależnie od sposobu obciążenia belki. Tak po prostu \(\displaystyle{ l}\) jest "długością odcinka". Jest stałą. Zaś \(\displaystyle{ x}\) jest zmienną, argumentem.
Podobnie dla \(\displaystyle{ x=3l; y_(_3_l_)=0}\)

[djoaza]

\(\displaystyle{ y(x)=\Theta_x_1-\frac{P}{6EJ}x_1^3+\frac{(x-l)^3}{6EJ}\cdot P+\frac{(x-2l)^3}{6EJ}\cdot P}\)
\(\displaystyle{ y(0)=0\\
y(3l)=0}\)

Sprawdzenie można zrobić takie?
\(\displaystyle{ EIy''(x)=-M(x)}\)
\(\displaystyle{ EIy''(x)=-Px+P(x-l)+P(x-2l)}\)
\(\displaystyle{ EIy'(x)=-P \frac{x^2}{2}+P \frac{(x-l)^2}{2}+P\frac{(x-2l)^2}{2}+C_2}\)
\(\displaystyle{ EIy(x)=-P \frac{x^3}{6}+P \frac{(x-l)^3}{6}+P\frac{(x-2l)^3}{6}+C_2\cdot x+D_2}\)-- 23 sty 2016, o 19:32 --Gdy mamy taką belkę

Rożnica między belką pionową, a tą pod katem wynosi \(\displaystyle{ \Delta}\)
Zatem równanie linii ugięcie to:

\(\displaystyle{ y(x)=y(0)+y'(0)x+y''(0) \frac{x^2}{2}+y'''(0) \frac{x^3}{6}-...}\)
Jak teraz opisać tą nieciągłość 1 rodzaju ?