Oblicz granicę ciągów

[MMY]

\(\displaystyle{ a) \frac{(2n+1)^3}{(4n+1)^2 (4-3n)}}\)

\(\displaystyle{ b) (\frac{sinn^3}{ 3\sqrt{n} }+ \sqrt[n]{4^n+n^2})}\)

\(\displaystyle{ c) (\frac{2n+2}{2n+1}) ^{ \sqrt{3n^2+9} }}\)

\(\displaystyle{ d) \sqrt[n]{n^1^0^0}-2n^3+3}\)

Nie mam pojęcia jak się za te przykłady zabrać. Mógłby ktoś w stanie pomóc mi je rozwiązać? Oczywiście wszystkie dążą do \(\displaystyle{ \infty}\)

[velma]

a)wyłącz w każdym nawiasie n przed nawias
c)użyj liczby e
d)\(\displaystyle{ sqrt[n]{ n^{100} }= sqrt[n]{n} ^{100}\(\displaystyle{ }\) - granica tego to 1}\)

[Dilectus]

Oczywiście wszystkie dążą do \(\displaystyle{ \infty}\)

Nie masz racji.

Weźmy przykład a):

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)^3}{(4n+1)^2 (4-3n)} =\lim_{n\to\infty} \frac{8n^3+3\cdot4n^2+6n+1}{\left( 16n^2+8n+1\right) \left( 4-3n\right) }= \\ \lim_{n\to\infty} \frac{8n^3+3\cdot4n^2+6n+1}{- 48n^3-8n^2+29n+4 }=- \frac{1}{6}}\)

Jak to zrobić? - Wykonać działania w liczniku i mianowniku i podzielić licznik i mianownik przez najwyższą potęgę mianownika, czyli przez \(\displaystyle{ n^3}\)

P.S. Popraw drugi przykład, bo chcesz w nim wyciągnąć sinus z gwiazdki

[MMY]

Dziękuję. Przykład "a)" już rozumiem. A jak z pozostałymi?

[Dilectus]

b)

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left( \frac{\sin n^3}{ 3\sqrt{n} }+ \sqrt[n]{4^n+n^2}\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n^3}{ 3\sqrt{n} } \ + \ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{4^n+n^2}=0 \ + \ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{4^n+n^2}}\)

Granicę \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{4^n+n^2}}\) policzysz z twierdzenia o trzech ciągach. Zauważ tylko, że

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{4^n} \le \sqrt[n]{4^n+n^2} \le \sqrt[n]{4^{n+1}}}\)

Zatem \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{4^n+n^2}=4}\)

A więc \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\left( \frac{\sin n^3}{ 3\sqrt{n} }+ \sqrt[n]{4^n+n^2}\right)=4}\)

[MMY]

Twierdzenie umiem, z tym sinusem nie wiedziałem co zrobić, ale teraz widzę, że dąży do zera. Bardzo dziękuje, pomogłeś mi.