Równanie funkcyjne

[GRyszard]

Witajcie forumowicze. To mój pierwszy post, cieszę się, że mogłem dołączyć do waszej społeczności. Mam problem z równaniem funkcyjnym, które muszę do jutra zrobić. Męczę się z tym i męczę, i nic nie mogę wymyślić.

Oto ono:
\(\displaystyle{ f( x^{2} - y^{2} ) = ( x - y )( f(x) + f(y) )}\)
podstawiając \(\displaystyle{ x=y=0}\) otrzymałem
\(\displaystyle{ f( 0 ) = 0}\)
ale każde inne podstawianie nie zbliża mnie niestety do rozwiązania. Chciałbym to zrobić, dlatego proszę was o pomoc.

Z góry dziękuję za wszystkie nadesłane odpowiedzi. Życzę miłego wieczoru!

[Premislav]

Hmm. Kładąc \(\displaystyle{ x:= \frac{x+1}{2}, y:= \frac{x-1}{2}}\), mamy
\(\displaystyle{ f(x)=f\left( \frac{x+1}{2} \right)+f\left( \frac{x-1}{2} \right)}\). Może pokombinuj z tym i z \(\displaystyle{ f(0)}\), które znalazłeś. Gdy zrobię listę zadań, to jeszcze na to spojrzę.-- 18 sty 2016, o 22:46 --Aha, ponadto jeśli podstawimy na odwrót, to otrzymamy wniosek, że \(\displaystyle{ f}\) jest nieparzysta.

[Jan Kraszewski]

Łatwo zauważyć, że funkcje liniowe są dobre.

JK

[GRyszard]

Są dobre, ale jak udowodnić, że tylko one? Dodam, że w moim zadaniu chodziło o znalezienie wszystkich funkcji. Nie mniej prawdą jest, że rozwiązaniem są funkcje liniowa:
\(\displaystyle{ f(x) = ax}\)
gdzie
\(\displaystyle{ a \in R}\)

Tak przeczuwam, że nie tylko ona może być rozwiązaniem, to chyba byłoby za proste

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ f( x^{2} - y^{2} ) = ( x - y )( f(x) + f(y) )}\)

Takie \(\displaystyle{ f}\) gdyby istniało (i \(\displaystyle{ f(x) \neq f(1)x}\)) to byłoby nieaddytywne ; jeśli dodać też założenie że
\(\displaystyle{ f(x+y )= f(x)+ f(y)}\)
to:

\(\displaystyle{ f(x^2) - f(y^2)= (x-y)( f(x)+ f(y))}\) stąd \(\displaystyle{ yf(x)=xf(y)}\)

podstawiając \(\displaystyle{ x=y=0}\) otrzymałem
\(\displaystyle{ f( 0 ) = 0}\)

a tj. \(\displaystyle{ f(x^2)= x f(x)}\)

to otrzymamy wniosek, że \(\displaystyle{ f}\) jest nieparzysta.

mamy

\(\displaystyle{ f(x)=f\left( \frac{x+1}{2} \right)+f\left( \frac{x-1}{2} \right)}\)

To jest tyle co \(\displaystyle{ f(x)+f(x+1)= f(2x+1)}\)

[kicaj]

Mamy \(\displaystyle{ f(x^2 -y^2 ) = (x-y) (f(x) + f(y) )}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ x=u+v , y= u-v}\) wtedy
\(\displaystyle{ f(4uv) =2v (f(u+v) + f(u-v) ).}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ f(z) =z g(z)}\) wtedy
\(\displaystyle{ 4uv g(4uv) =2v ((u+v) g(u+v) + (u-v) g(u-v) )}\)
Podstawmy \(\displaystyle{ u=v}\) otrzymamy
\(\displaystyle{ 4u^2 g(4u^2 ) =4u^2 g(2u)}\)
czyli \(\displaystyle{ g(s) =g(s^2)}\)
jeśli więc założymy ciągłość w \(\displaystyle{ 0,1}\) to \(\displaystyle{ g\equiv const.}\)

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ g(x)= g(x^2)}\) to jest bo \(\displaystyle{ \frac{f(x^2)}{x^2} = \frac{f(x)}{x}}\) (w równaniu wyjściowym \(\displaystyle{ y=0}\))

jeśli więc założymy ciągłość

\(\displaystyle{ f(x)}\) czy \(\displaystyle{ \frac{f(x)}{x}}\) (w zerze) ?

Czy jeśli \(\displaystyle{ g: [0,1] \mapsto R}\) jest taka, że \(\displaystyle{ g(x)= g(x^2)}\) dla \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\) to \(\displaystyle{ g}\) jest stała ?