Mam do policzenia kilka zadań z rachunku całkowego:
1. Obliczyć moment bezwładności względem osi z jednorodnej bryły :
\(\displaystyle{ V:=\left\{ \left|\begin{array}{ccc}x\\y\\z\end{array}\right| \in R^{3 } : x^{2}+ y ^{2 } + z^{2} \le 25 , x^{2}+ y ^{2 } \ge 9 \right\}}\) o gęstości \(\displaystyle{ p=const}\)
2.Znaleźć pole powierzchni wykresu funkcji :
\(\displaystyle{ \left\{ R^{2} \supset [0,3] x [0,6] \ni \left|\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right| \rightarrow z(x,y)= \sqrt{2xy} \in R \right\}}\)
3. Współrzędne paraboliczne wiążą się ze współrzędnymi kartezjańskimi płaszczyzny Euklidesowej w następujący sposób :
\(\displaystyle{ x= \frac{ u^{2}- v^{2} }{2} y=uv}\)
a)zapisz tensor metryczny we współrzędnych parabolicznych .Czy współrzędne te są ortogonalne?
b)zapisz formę objęości we współrzędnych parabolicznych
c)Zapisz gradient we współrzędnych parabolicznych
d)zapisz dywergencje we współrzędnych parabolicznych
Bardziej chodzi mi o zadanie 1 i 2 bo 3 to wydaje mi się to kwestia podstawienia do wzorów i obliczenia pochodnych/całek.
Z góry dziękuje za odpowiedź
Pozdrawiam