Ciało skończone

[mm34639]

Proszę o zweryfikowanie czy dobrze rozumiem:

Mam dane ciało \(\displaystyle{ GF(25)=\mathbb{Z}_5 \, / \, (x^2+x+1)}\)

Chodzi o to, że w pierścieniu \(\displaystyle{ Z_5[x]}\) mogę stworzyć ideał (główny) generowany przez \(\displaystyle{ (x^2+x+1)}\), tzn. zbiór wielomianów postaci \(\displaystyle{ w(x) \cdot (x^2+x+1)}\), \(\displaystyle{ w(x) \in Z_5[x]}\).

Warstwy względem tego ideału będą odpowiadać wszystkim wielomianom stopnia \(\displaystyle{ <2}\), no bo w szczególności \(\displaystyle{ (ax+b) \mod (x^2+x+1) = ax+b}\) , dla każdego \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ a \in \{ 0\ldots 4 \}}\) i \(\displaystyle{ b \in \{ 0\ldots 4 \}}\) to rzeczywiście jest \(\displaystyle{ 5 \cdot 5=25}\) elementów.

Pytanie 1: Zauważmy że np. \(\displaystyle{ x^2+4x+2}\) też jest nierozkładalny nad \(\displaystyle{ Z_5}\). Co jeśli napiszę \(\displaystyle{ Z_5/(x^2+4x+2)}\)? To jest ciało? To samo ciało? Czy ten ten wielomian przez który "dzielę", oprócz tego że nierozkładalny, to musi jeszcze coś spełniać?
Pytanie 2: Jak wygląda tabelka działań? O ile dodawanie jest w miarę jasne \(\displaystyle{ (ax+b)+(cx+d)=(a \, +_5 \, c)x+b \, +_5 \, d}\) (?)
to co do mnożenia ma wątpliwość.
czy to jest
\(\displaystyle{ (ax+b) \cdot (cx+d) = [(ac)_5 \, x^2 + (ad+bc)_5 \, x + bd] \mod (x^2+x+1)}\)?

Ale wtedy dostanę inną resztę (?) niż gdybym dzielił przez \(\displaystyle{ x^2+4x+2}\).
Rozumiem, że albo \(\displaystyle{ Z_5/(x^2+4x+2)}\) to nie ciało, albo "\(\displaystyle{ ax+b}\)" w tym ciele zachowuje się inaczej niż "\(\displaystyle{ ax+b}\)" w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 \, / \, (x^2+x+1)}\), ale za to pewne \(\displaystyle{ cx+d \, \,}\) w \(\displaystyle{ \ Z_5/(x^2+4x+2)}\) zachowuje się jak \(\displaystyle{ ax+b}\) w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5 \, / \, (x^2+x+1)}\).

Tzn oba ciała są izomorficzne, ale \(\displaystyle{ ax+b}\) nie zawsze przechodzi na \(\displaystyle{ ax+b}\)

Coś kojarzę, ale nie wiem czy dobrze, że w ciałach \(\displaystyle{ GF(p^k)}\) dla \(\displaystyle{ k>1}\) też można jakoś zapisać elementy nie jako wielomiany-reszty z dzielenia, ale w postaci \(\displaystyle{ \{ 0 , 1 , \alpha, \alpha^2, \ldots, \alpha^{p^k-2} \}}\). Jak znaleźć \(\displaystyle{ \alpha}\) np dla mojego przypadku (jakiemu wielomianowi ma odpowiadać), i jak wtedy zrobić ładnie tabelkę z dodawaniem? A mnożenie? \(\displaystyle{ \alpha^{24}=1}\) ?

[bartek118]

Pytanie 1. Wystarczy, aby był nierozkładalny. Wówczas otrzymujesz z dokładnością do izomorfizmu to samo ciało.

Pytanie 2. Oczywiście, że zachowuje się inaczej - ten wielomian odpowiada po prostu innemu w tamtym ciele - podkreślam raz jeszcze, jest to to samo ciało, ale z dokładnością do izomorfizmu.