równanie ogólne płaszczyzny

[bozenqa]

Napisać równanie ogólne płaszczyzny zawierającej krawędź przecięcia płaszczyzn \(\displaystyle{ \Pi_1}\), \(\displaystyle{ \Pi_2}\) i prostopadłej do płaszczyzn \(\displaystyle{ \Pi_3}\):
\(\displaystyle{ \Pi_1: 2x-y-3=0}\)
\(\displaystyle{ \Pi_2: 3y+z-8=0}\)
\(\displaystyle{ \Pi_3: x+y-6z-12=0}\)

[lukequaint]

Wyznacz wektory normalne tych płaszczyzn. Iloczyn wektorowy wektora pierwszego i drugiego (odpowiednio płaszczyzn \(\displaystyle{ \Pi_{1}}\) i \(\displaystyle{ \Pi_{2}}\)) jest wektorem rozpinającym prostą przecięcia obu płaszczyzn. Ten wektor wraz z wektorem normalnym płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi_{3}}\) wyznacza płaszczyznę prostopadłą do \(\displaystyle{ \Pi_{3}}\). Pozostaje wyznaczyć postać ogólną.

[bozenqa]

Czyli iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ \Pi_1}\) i \(\displaystyle{ \Pi_2}\) to \(\displaystyle{ [-4,1,-3]}\) i co dalej robię? Wrzucam do wzoru i mam odpowiedź?

@edit a nie, czy odpowiedź będzie \(\displaystyle{ -2x-2y+2z+6=0}\)?

[lukequaint]

Nie iloczyn wektorowy płaszczyzn, tylko iloczyn wektorowy ich wektorów normalnych. Wektory normalne są odpowiednio równe:

• \(\displaystyle{ N_{1} = \left(\begin{array}{c}2\\-1\\0\end{array}\right)}\)
• \(\displaystyle{ N_{2} = \left(\begin{array}{c}0\\3\\1\end{array}\right)}\)
• \(\displaystyle{ N_{3} = \left(\begin{array}{c}1\\1\\-6\end{array}\right)}\)

Teraz liczymy iloczyn wektorowy wektorów \(\displaystyle{ N_{1}}\) i \(\displaystyle{ N_{2}}\):
\(\displaystyle{ N_{1} \times N_{2} = \left(\begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc}-1&3\\0&1\end{array} \right| \\
\left| \begin{array}{cc}0&1\\2&0\end{array} \right| \\
\left| \begin{array}{cc}2&0\\-1&3\end{array} \right|
\end{array}
\right)
=
\left(\begin{array}{c}-1\\-2\\6\end{array}\right)}\)


Jest to wektor rozpinający prostą, wzdłuż której przecinają się \(\displaystyle{ \Pi_{1}}\) i \(\displaystyle{ \Pi_{2}}\). Jej równanie parametryczne to:
\(\displaystyle{ X = t \left(\begin{array}{c}-1\\-2\\6\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)}\)

Współrzędne \(\displaystyle{ a, b, c}\) punktu, przez który ta prosta przechodzi można wyliczyć, wykorzystując fakt, że leży on na płaszczyznach \(\displaystyle{ \Pi_{1}}\) i \(\displaystyle{ \Pi_{2}}\) (wstawiając jego współrzędne do równań tych płaszczyzn). Mnie wyszło \(\displaystyle{ a=0}\), \(\displaystyle{ b=-3}\), \(\displaystyle{ c=-17}\).

Następnie to, co napisałem wcześniej - wyliczamy iloczyn wektorowy powyższego wektora z wektorem normalnym płaszczyzny \(\displaystyle{ \Pi_{3}}\). Otrzymamy wektor normalny nowej płaszczyzny. Korzystając ze współrzędnych wyliczonego wyżej punktu, możemy wyznaczyć dokładne równanie szukanej płaszczyzny. Ostatecznie otrzymałem:
\(\displaystyle{ 6x+z-17=0}\).