Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Każdy z wektorów (na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)) \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n}\) ma długość nie większą niż 1. Udowodnij że w wyrażeniu \(\displaystyle{ \beta = \pm \alpha_1\pm \alpha_2 \pm...\pm \alpha_n}\)
można tak dobrać znaki aby \(\displaystyle{ |\beta| \le \sqrt{2}}\)
Dla \(\displaystyle{ n=2}\). Zamiast wektorów weźmy liczby zespolone \(\displaystyle{ \alpha_1}\) i \(\displaystyle{ \alpha_2}\). Załóżmy nie wprost, że wartość bezwzględna z każdej sumy jest większa od\(\displaystyle{ \sqrt 2}\), wtedy \(\displaystyle{ \sqrt 2}\). \(\displaystyle{ 4=2^2=(\sqrt 2)^4<|\alpha+\beta||\alpha-\beta||-\alpha+\beta||-\alpha-\beta|=}\)\(\displaystyle{ |\alpha^2-\beta^2||\alpha^2-\beta^2|=|\alpha^2-\beta^2|^2 \le (|\alpha|^2+|\beta|^2)^2 \le 2^2=4}\) sprzeczność. Co dowodzi istnienia takiego \(\displaystyle{ \beta}\).
Dla \(\displaystyle{ n\ge 3}\) dowód korzysta z faktu, że wśród \(\displaystyle{ 3}\) wektorów istnieją dwa, których moduł różnicy lub sumy jest nie większy od \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy przypadek dla \(\displaystyle{ n}\) redukuje się do \(\displaystyle{ n-1}\), bo dwa wektory wymieniam na jeden. Dowód faktu: Jeżeli kąt między dwoma wektorami \(\displaystyle{ v,w}\) jest nie większy od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\) to moduł ich różnicy jest nie większy od \(\displaystyle{ 1}\), co wynika z twierdzenia cosinusów \(\displaystyle{ |u-v|^2=|u^2|+|v|^2-2cos(v,w)|u||w|\le 2-2cos(\frac{\pi}{3})=2-1=1 \Rightarrow |u-v|\le 1}\). Zaczepiamy w jednym punkcie trzy wektory i ich przeciwieństwa, wtedy spośród tych sześciu wektorów są dwa, których kąt miedzy nimi jest nie większy od \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Oznacza to, że ich różnica ma moduł nie większy od \(\displaystyle{ 1}\). To kończy dowód zadania.
