baza uporządkowana przestrzeni dualnej

[gocha92]

Niech \(\displaystyle{ E=\RR[t]_{n}}\) będzie rzeczywistą przestrzenią wektorową wielomianów nad ciałem \(\displaystyle{ \RR}\) stopnia mniejszego lub równego n. Dla dowolnego \(\displaystyle{ s \in \RR}\) definiujemy odwzorowanie
\(\displaystyle{ \sigma ^s : \RR[t]_{n} \rightarrow \RR, \sigma ^s (f)= \int_{0}^{s} f(x) dx}\)
Wykazać, że \(\displaystyle{ (\sigma ^1, \sigma ^2,..., \sigma ^{n+1} )}\) są bazami uporządkowanymi przestrzeni dualnej \(\displaystyle{ E^*}\).

Chcę wykazać, że jeżeli
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1} \alpha _i \sigma ^i (f) =0}\),
to \(\displaystyle{ \alpha_i =0}\) dla każdego i. Czyli wykazać liniową niezależność. W tym celu chcę wziąć dowolną, konkretną funkcję f będącą wielomianem stopnia mniejszego równego n. Mam problem ze znalezieniem tej funkcji. Moim pomysłem była funkcja
\(\displaystyle{ f_{1}(t)=[(t-2)(t-3)...(t-n-1)]'}\)
W ten sposób chciałam wyzerować pierwszy współczynnik. Biorąc kolejne, analogiczne funkcje, zerowałabym kolejne współczynniki. Jednak widzę, że to nie jest dobra funkcja, bo sumując kolejne wyrazy w tej mojej sumie nie zeruje mi się to, co powinno się zerować, aby uzyskać ładny, oczekiwany rezultat (przeszkadza w tym 0 jako granica całkowania)
Proszę o pomoc w znalezieniu odpowiedniej funkcji.

[Dasio11]

Weź

\(\displaystyle{ f_k(t) = \left[ (t-0)(t-1)(t-2) \cdots \widehat{(t-k)} \cdots (t-(n+1)) \right]',}\)

gdzie \(\displaystyle{ \widehat{(t-k)}}\) oznacza brak tego czynnika.

[gocha92]

dziękuję, wyszło.