Oszacować wartości całki:
\(\displaystyle{ \int_{-6}^{1} \frac{1}{\sqrt{7-6x- x^{2} }}}\)
Pierwszy raz sie spotykam z tego typu zadaniem. Czy mozna to oszacowac jak przy liczeniu granicy czy jak?
Z góry dziękuje za odpowiedź.
Pozdrawiam
Oszacowanie wartości całki
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Oszacowanie wartości całki
Dziwne. Wartość tej całki można wyliczyć np. z użyciem podstawienia \(\displaystyle{ \frac{x+3}{4}=t}\) ( potem całkujemy do \(\displaystyle{ \arcsin}\)), natomiast nie mam pojęcia, co tu szacować. Może tego arcusa sinusa... Bo jeden będzie brzydki.
Z Taylora mamy \(\displaystyle{ \arcsin x\approx x+ \frac{x^{3}}{6} + \frac{3x^{5}}{40}}\) czy jakoś tak (wzór na rozwinięcie w szereg Maclaurina tego arcusa sinusa masz np. na wikipedii, po prostu wzionem trzy początkowe wyrazy tegoż rozwinięcia).-- 8 sty 2016, o 21:57 --Aha, "wzionem" to żart.
Z Taylora mamy \(\displaystyle{ \arcsin x\approx x+ \frac{x^{3}}{6} + \frac{3x^{5}}{40}}\) czy jakoś tak (wzór na rozwinięcie w szereg Maclaurina tego arcusa sinusa masz np. na wikipedii, po prostu wzionem trzy początkowe wyrazy tegoż rozwinięcia).-- 8 sty 2016, o 21:57 --Aha, "wzionem" to żart.
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6953
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1254 razy
Oszacowanie wartości całki
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }= \sum_{k=0}^{ \infty } {-\frac{1}{2} \choose k}\left( -1\right)^k x^{2k} \\
{-\frac{1}{2} \choose k}= \frac{\left( - \frac{1}{2} \right)\left( -\frac{1}{2}-1 \right) \cdot _{\cdots} \cdot \left( - \frac{1}{2}-k+1 \right) }{1 \cdot 2 \cdot _{\cdots} \cdot k }\\
= \frac{\left( -1\right)^k }{2^k} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5\cdot _{\cdots} \cdot \left( 2k-1\right) }{k!}\\
= \frac{\left( -1\right)^k }{2^k} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5\cdot _{\cdots} \cdot \left( 2k-1\right) \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6\cdot _{\cdots} \cdot \left( 2k\right)}{k!\cdot 2 \cdot 4 \cdot 6\cdot _{\cdots} \cdot \left( 2k\right)}
=\frac{\left( -1\right)^k }{2^k} \cdot \frac{\left( 2k\right)! }{2^k\left( k!\right)^2 } \\
= \frac{\left( -1\right)^k \cdot \left( 2k\right)! }{2^{2k}\left( k!\right)^2 } \\
\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }=\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{\left( -1\right)^n \left( -1\right)^n \cdot \left( 2n\right)! }{2^{2n}\left( n!\right)^2 } x^{2n}} \\
\arcsin{x}=\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{\left( 2n\right)! }{2^{2n}\left( n!\right)^2\left( 2n+1\right) } x^{2n+1}}}\)
{-\frac{1}{2} \choose k}= \frac{\left( - \frac{1}{2} \right)\left( -\frac{1}{2}-1 \right) \cdot _{\cdots} \cdot \left( - \frac{1}{2}-k+1 \right) }{1 \cdot 2 \cdot _{\cdots} \cdot k }\\
= \frac{\left( -1\right)^k }{2^k} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5\cdot _{\cdots} \cdot \left( 2k-1\right) }{k!}\\
= \frac{\left( -1\right)^k }{2^k} \cdot \frac{1 \cdot 3 \cdot 5\cdot _{\cdots} \cdot \left( 2k-1\right) \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6\cdot _{\cdots} \cdot \left( 2k\right)}{k!\cdot 2 \cdot 4 \cdot 6\cdot _{\cdots} \cdot \left( 2k\right)}
=\frac{\left( -1\right)^k }{2^k} \cdot \frac{\left( 2k\right)! }{2^k\left( k!\right)^2 } \\
= \frac{\left( -1\right)^k \cdot \left( 2k\right)! }{2^{2k}\left( k!\right)^2 } \\
\frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }=\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{\left( -1\right)^n \left( -1\right)^n \cdot \left( 2n\right)! }{2^{2n}\left( n!\right)^2 } x^{2n}} \\
\arcsin{x}=\sum_{n=0}^{ \infty }{\frac{\left( 2n\right)! }{2^{2n}\left( n!\right)^2\left( 2n+1\right) } x^{2n+1}}}\)