Rozwinięcie funkcji |cosx| w szereg Fouriera

[jolkajolka]

Mam problem z rozwinięciem funkcji \(\displaystyle{ f(x)=\left|\cos x \right|}\) w szereg Fouriera. Jest to funkcja parzysta, czyli \(\displaystyle{ b_{n}=0}\), umiem obliczyć \(\displaystyle{ a_{0}}\), ale nie chce mi wyjść \(\displaystyle{ a_{n}}\), mógłby mi to ktoś rozpisać?

[octahedron]

A w jakim przedziale?

[jolkajolka]

\(\displaystyle{ <- \pi , \pi >}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi |\cos x|\cos nx\,dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^\pi |\cos x|\cos nx\,dx=\\\\=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x\cos nx\,dx-\frac{2}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \cos x\cos nx\,dx=\\\\
=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(n+1)x+\cos(n-1)x\,dx-\frac{1}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \cos(n+1)x+\cos(n-1)x\,dx=\\\\
=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n+1}\sin(n+1)x+\frac{1}{n-1}\sin(n-1)x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}-\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n+1}\sin(n+1)x+\frac{1}{n-1}\sin(n-1)x\right]_{\frac{\pi}{2}}^\pi=\\\\
=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n+1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}+\frac{1}{n-1}\sin\frac{(n-1)\pi}{2}\right]+\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n+1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}+\frac{1}{n-1}\sin\frac{(n-1)\pi}{2}\right]=\\\\
=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n+1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}-\frac{1}{n-1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}\right]+\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n+1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}-\frac{1}{n-1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}\right]=\\\\
=\frac{2}{\pi}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}\left[\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n-1}\right]=-\frac{4}{\pi(n^2-1)}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}\\\\
a_1=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2x\,dx-\frac{2}{\pi}\int_{\frac{\pi}{2}}^\pi \cos^2x\,dx=0}\)

[karrla]

Odnawiam wątek
Nie rozumiem jednego przekształcenia :

\(\displaystyle{ ...=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n+1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}+\frac{1}{n-1}\sin\frac{(n-1)\pi}{2}\right]+\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n+1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}+\frac{1}{n-1}\sin\frac{(n-1)\pi}{2}\right]=\\\\
=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n+1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}-\frac{1}{n-1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}\right]+\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{n+1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}-\frac{1}{n-1}\sin\frac{(n+1)\pi}{2}\right]=...\\\\}\)

Z jakiej własności korzystamy w powyższym przekształceniu ? Myślałam o nieparzystości, jednak \(\displaystyle{ -(n+1)=-n-1}\) a nie \(\displaystyle{ (n-1)}\) . Dlatego nie rozumiem tego przejścia

[octahedron]

\(\displaystyle{ \sin\frac{(n-1)\pi}{2}=\sin\frac{(n+1)\pi-2\pi}{2}=\sin\left(\frac{(n+1)\pi}{2}-\pi\right)=-\sin\frac{(n+1)\pi}{2}}\)