Pokaż że element jest nierozkładalny

[Nihilius]

Cześć,
mam problem z następującym zadaniem:
\(\displaystyle{ d \in Z}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej. Niech \(\displaystyle{ a,b \in Z}\) Pokaż że jeśli \(\displaystyle{ a+b \sqrt{d}}\) jest nierozkładalny w \(\displaystyle{ Z\left[ \sqrt{d}\right]}\) to nierozkładalny jest też \(\displaystyle{ a-b \sqrt{d}}\). Szczerze mówiąc nie wiem jak mam to nawet zacząc.\(\displaystyle{ a+b \sqrt{d}}\) nierozkładalny więc nie da się przedstawić jako \(\displaystyle{ x\cdot y}\) gdzie \(\displaystyle{ x,y}\) nieodwracalne. Więc \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\) musiały by być odwracalne?

[leg14]

Wskazowka:
Zauwaz, ze dany elemnt \(\displaystyle{ a +b \sqrt{d}}\)
Jest odwracalny wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ |a^2 -b^2d| =1}\)

[Nihilius]

Okey widzę że tutaj norma się wkradła, może głupie pytanie ale bardzo nie widzę jak z normy 1 wynika jego odwracalność.
EDIT: dlatego?\(\displaystyle{ 1=N(AB)=N(A)\cdot N(B)}\) a norma jest zawsze całkowita? Czyli norma A i B to musi 1 być?

[leg14]

Poniewaz \(\displaystyle{ N(a)=|a \overline{a}|}\)

\(\displaystyle{ a = c + b \sqrt{d} \wedge \overline{a}=c - b \sqrt{d}}\)

[Nihilius]

Okey w sumie z tym co mi napisałeś to już tu nie ma co robić, dzięki wielkie -- 6 sty 2016, o 20:09 --Dobra jednak fałszywy alarm jednak tego wciąż nie widzę

[Dasio11]

Bo jeśli \(\displaystyle{ a^2 - b^2 d = 1,}\) to \(\displaystyle{ \left( a+b \sqrt{d} \right) \left( a-b \sqrt{d} \right) = 1,}\) a jeśli \(\displaystyle{ a^2 - b^2 d = -1,}\) to \(\displaystyle{ \left( a+b \sqrt{d} \right) \left( -a+b \sqrt{d} \right) = 1,}\) czyli \(\displaystyle{ a+b \sqrt{d}}\) jest odwracalny.

Ale prościej to zadanie robi się bez norm.