punkty osobliwe i residuum

[Jacek_fizyk]

znalezc puntky osobliwe dla
\(\displaystyle{ f(z) = \sin \left( \frac{1}{z} \right)}\) czy tutaj bedzie tylko \(\displaystyle{ z= 0}\) punktem osobliwym?
\(\displaystyle{ f(z)= \frac{z}{\sin z}}\) a jak bedzie w tym przypadku?

[BettyBoo]

1) tak

2) korzystasz z definicji \(\displaystyle{ \sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\) i obliczasz z tego punkty osobliwe (czyli miejsca zerowe sinusa). Dla określenia rodzaju osobliwości wystarczy obliczyć granice w tych punktach.

Pozdrawiam.

[111sadysta]

b)\(\displaystyle{ f(z)= \frac{z}{\sin z}}\)
\(\displaystyle{ \sin z=0 \Leftrightarrow z_1=k \pi}\), \(\displaystyle{ k}\) jest całkowite
ponieważ \(\displaystyle{ (\sin x)'=\cos z}\) oraz \(\displaystyle{ \cos (k \pi )=(-1)^k}\), \(\displaystyle{ k}\) jest całkowite
więc pynkt \(\displaystyle{ z_1=k \pi}\) , \(\displaystyle{ k}\) jest całkowite, jest zerem jednokrotnym funkcji \(\displaystyle{ \sin z}\)
ale w liczniku \(\displaystyle{ z_2=0}\) jest zerem jednokrotnym
wbec tego punkt \(\displaystyle{ z_k= k \pi}\), \(\displaystyle{ k}\) jest całkowite bez zera , jest biegunem jednokrotnym funkcji\(\displaystyle{ f(z)}\)

Tak jest dobrze?