podgrupa generowana przez permutacje

[gocha92]

G jest podgrupą grupy \(\displaystyle{ S_8}\) generowaną przez permutacje (123)(45) i (78). Wyznaczyć G.

Wiem jak wyznaczyć podgrupę generowaną przez jedną permutację. Ale tutaj mam dwie permutacje i nie wiem, jak to zrobić w takim przypadku

[szw1710]

W podręcznikach algebry jest twierdzenie podające postać podgrupy generowanej przez zbiór.

[Medea 2]

Ja podpowiem, że te permutacje komutują (jeżeli oznaczysz jedną przez \(\displaystyle{ a}\), drugą przez \(\displaystyle{ b}\), to \(\displaystyle{ ab =ba}\)). A zatem podgrupa przez nie generowana to \(\displaystyle{ \{a^k b^l : k, l \in \ZZ\}}\).

[gocha92]

z czego wynika to, że te permutacje komutują? W ogólności wiadomo, że składanie przekształceń nie jest przemienne.

[Medea 2]

Wynika to chociażby z tego, że mają rozłączne nośniki (zbiory, na których rzeczywiście coś robią).