Trójkierunkowy stan naprężenia i odkształcenia

[niuni3k]

Witam,

Gąbkę o średnicy \(\displaystyle{ d}\) i wysokości \(\displaystyle{ h}\) umieszczono w rurze (rysunek w linku poniżej)
... osiowy.jpg

\(\displaystyle{ E}\) - moduł sprężystości
\(\displaystyle{ V}\) - liczba Poissona

W tym zadaniu muszę wyznaczyć odkształcenia \(\displaystyle{ \varepsilon _{x}}\), \(\displaystyle{ \varepsilon _{y}}\), \(\displaystyle{ \varepsilon _{z}}\) oraz naprężenia \(\displaystyle{ \sigma _{x}}\), \(\displaystyle{ \sigma _{y}}\), \(\displaystyle{ \sigma _{z}}\).
Jeśli ktoś zechciałby pomóc będę niezmiernie wdzięczny
Pozdrawiam

[SlotaWoj]

A dlaczego na załączonym rysunku średnica gąbki nie jest prostopadła do osi rury?

[niuni3k]

Oczywiście mój błąd.

Posta edytować nie mogę, zatem wrzucam tu aktualny rysunek

[kruszewski]

Można poprosić o rysunek w innym przglądaczu niż owe speedy?

[niuni3k]

Jasne

[kruszewski]

Jest to osiowe ściskanie przypadek objętościowy. Wymiary poprzeczne nie ulegają zmianie.
Na problem można chyba popatrzeć jak na przeciwny do rozciągania osiowego ze znakiem przeciwnym z tym, że przyrost wymiar u poprzecznego, tu średnicy jest zerowy wynikający ze sztywnej rury.
Myślę, że można napisać takie warunki:
\(\displaystyle{ \varepsilon_x=\varepsilon_y = \nu \frac{\sigma_z}{E}}\)
oraz \(\displaystyle{ \gamma_x_y= \gamma_y_z = \gamma_z_x =0}\)
i przyrost średnicy \(\displaystyle{ \Delta d= d \cdot \nu \frac{\Delta L}{L}}\),
który naprężeniami normalnymi do pobocznicy należy skasować.
Wg szkicu jaki jest dołączony do zadania \(\displaystyle{ \Delta L}\) odpowiada \(\displaystyle{ \delta}\) ,
zaś \(\displaystyle{ L}\) odpowiada \(\displaystyle{ h}\)
Osie \(\displaystyle{ x,y}\) zorientowane są prostopadle do osi rury, osi ściskania \(\displaystyle{ z}\).
\(\displaystyle{ \nu= \frac{\varepsilon'}{\varepsilon}}\) jest współczynnikiem Poissona

[niuni3k]

Dziękuję Panu za odpowiedź.
Mam pytanie czy poniższy warunek jest poprawny:

\(\displaystyle{ \varepsilon _{z}=\frac{\sigma_z}{E}= \frac{2 \delta}{h}}\)

Z tego co Pan napisał wynika, że \(\displaystyle{ \sigma_x = \sigma_y = 0}\). Czy \(\displaystyle{ \sigma_z}\) zatem mogę wyznaczyć z powyższego warunku (o ile jest poprawny)?

[kruszewski]

Kod: Zaznacz cały

http://www.profaska.pl/files/wytrzymka.pdf

[niuni3k]

Hmm..czyli to co napisałem wyżej jest poprawne?
Bo według mojej interpretacji tego co Pan wysłał to tak.

[kruszewski]

Pisze Kolega:
"Z tego wynika, że \(\displaystyle{ \sigma_x = \sigma_y = 0.}\)
Czy \(\displaystyle{ \sigma_z}\), zatem mogę wyznaczyć z powyższego warunku (o ile jest poprawny)?"

Brak odkształcenia poprzecznego nie jest tu równym brakowi naprężeń w tym kierunku. Gdyby nie było ograniczenia rurą to \(\displaystyle{ \varepsilon_x = \varepsilon_y \neq 0}\)
I to ograniczenie, które nie pozwala na swobodne odkształcenie poprzeczne mimo jego braku powoduje nacisk na ścianę wewnętrzną rury stąd i niezerowe ale równe sobie naprężenia na kierunkach poprzecznych.

[niuni3k]

Skoro napisał Pan, że \(\displaystyle{ \sigma_x = \sigma_y \neq 0}\) to nie rozumiem za bardzo skąd:\(\displaystyle{ \varepsilon_x=\varepsilon_y = \nu \frac{\sigma_z}{E}}\)

Wzory na odkształcenia:
\(\displaystyle{ \varepsilon_x = \frac{1}{E} (\sigma_x - \nu \sigma_y - \nu \sigma_z )}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_y = \frac{1}{E} (\sigma_y - \nu \sigma_z - \nu \sigma_x )}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_z = \frac{1}{E} (\sigma_z - \nu \sigma_x - \nu \sigma_y )}\)

Aha i jak mogę wyznaczyć współczynnik Poisonna?

[siwymech]

Naprężenia w kierunku trzech osi:
\(\displaystyle{ \sigma _{x} \neq 0}\), (1)
\(\displaystyle{ \sigma _{y} \neq 0}\), (2)
\(\displaystyle{ \sigma _{z} =0}\), (3)
/oś x kierunek obciążenia od siły P/
Gdzie:
\(\displaystyle{ \sigma _{x}=\sigma _{y}=- \frac{P}{S}}\), (4)
S- pow. docisku
/Naprężenia ściskajace/
........................
Odkształcenia:
\(\displaystyle{ \epsilon _{x}=0}\), (5)
\(\displaystyle{ \epsilon _{y}=0}\), (6)
/opór stawia sztywna ściana rury/
\(\displaystyle{ \epsilon _{z} \neq 0}\),
/Wydłużenie w kierunku osi z/
...........................................
Wstawiamy zależności (3), (4), (5) i (6) do uogólnionego prawa Hooke'a;
\(\displaystyle{ \varepsilon_x = \frac{1}{E} (\sigma_x - \nu \sigma_y - \nu \sigma_z )=0}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_y = \frac{1}{E} (\sigma_y - \nu \sigma_z - \nu \sigma_x )=0}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_z = \frac{1}{E} (\sigma_z - \nu \sigma_x - \nu \sigma_y )}\)
I potwierdzimy;
\(\displaystyle{ \epsilon _{x}=0}\),
\(\displaystyle{ \epsilon _{y}=0}\),
Oraz obliczymy;
\(\displaystyle{ \epsilon _{z}}\)