Całka na 2 sposoby

[damS]

\(\displaystyle{ \int \frac{ x }{x+1} \,\text{d}x}\)

Dlaczego gdy stosuję podstawienie \(\displaystyle{ x+1=t}\) wynik wychodzi błedny ?

Gdy stosuję rozbicie w liczniku na \(\displaystyle{ x+1-1}\) to wszystko gra

[szw1710]

Zapisz, jak całkujesz przez to podstawienie.

[damS]

\(\displaystyle{ \int \frac{ x }{x+1} \,\text{d}x = \int \frac{ t-1 }{t} \,\text{d}t = \int 1- \frac{ 1 }{t} \,\text{d}x=t-lnt=x+1-ln(x+1)}\)

[szw1710]

Jeszcze \(\displaystyle{ +C}\). Powiedzmy, że założymy dodatniość tego co pod logarytmem. To nie jest tutaj najważniejsze.

Co Ci tu nie gra? Zapisz teraz tę całkę liczoną drugą metodą. Koniecznie. Potem zadam Ci odpowiednie pytanie.

[damS]

\(\displaystyle{ \int \frac{ x }{x+1} \,\text{d}x = \int (1- \frac{ 1 }{x+1}) \,\text{d}x=x-ln(x+1)}\)

Wiem że gdzieś jest błąd z mojej strony ale nie wiem gdzie

[a4karo]

A na razie zamień \(\displaystyle{ t}\) na \(\displaystyle{ x}\) pod logarytmem...

[damS]

Czy widzi ktoś błąd który popełniam ?

[NogaWeza]

Tak, wynika on z niewiedzy i nieznajomości teorii. Czym jest całka nieoznaczona? Funkcją? Liczbą? Odpowiedz na to pytani i może coś Ci się rozjaśni.

[damS]

Jest funkcją i dalej nie wiem o co chodzi

[szw1710]

To przejrzyj temat od początku i zastosuj się do wskazówki kolegi a4karo. Zapisz obok siebie całki liczone obiema metodami.

[NogaWeza]

Najwidoczniej nie wiesz o co chodzi. Całka nieoznaczona jest zbiorem funkcji pierwotnych, z dokładnością co do stałej. Można by rzec, że branie całki nieoznaczonej jest operacją odwrotną do brania pochodnej. Co to oznacza? A no, że jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ \int f(x) \mbox{d}x = F(x) + \mbox{C}}\), to \(\displaystyle{ f(x) = F'(x)}\). Inaczej to ujmując - różniczkując wynik dostajemy funkcję podcałkową. Może się zatem okazać, że całkując różnymi metodami dostaniemy dwa różne wyniki, oraz że tylko jeden z nich jest dobry. No i właśnie to jest kłamstwo, bo przecież mogą się różnić o stałą. A pochodna ze stałej to nic innego jak \(\displaystyle{ 0}\). Oblicz sobie pochodną z jednego wyniku który otrzymałeś i porównaj z funkcją podcałkową. Potem zrób to samo dla drugiego wyniku. To jest właśnie podstawowa metoda sprawdzania wyniku - różniczkowanie.

[szw1710]

W tym kontekście polecam artykuł na moim blogu: ... bliczania/ oraz komentarze do niego.