rozkład normalny zmiennej losowej

[unn4m3nd]

Zmienne losowe \(\displaystyle{ X_k}\) (\(\displaystyle{ k = 1, 2, ..., 16}\)) są niezależne i mają jednakowy rozkład \(\displaystyle{ N(-1,3)}\). Korzystając z odpowiednich tablic wyznaczyć:
\(\displaystyle{ P\left( \left| X_k\right| > 2 \right)}\)
\(\displaystyle{ P\left( \left| \overline{X} \right| > 2 \right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \overline{X} = \frac{1}{16} \sum_{k=1}^{16} X_k}\)

Jak to w ogóle zacząć?
Proszę o pomoc.
Pozdr.

-- 2 sty 2016, o 14:36 --

Proszę o sprawdzenie:
\(\displaystyle{ P\left( \left| X_k\right| > 2 \right) = 1 - P\left( \left| X_k\right| \le 2 \right) = 1 - F(2) = 1 - F(\frac{2+1}{3} ) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0,3413 = 0,6587}\)
Korzystałem z tych tablic: ... table.html
Jak włączam inne to wynik jest inny.
Ale z tą średnią to już nie wiem jak zrobić.

[szw1710]

Średnia powinna mieć ten sam rozkład. Sprawdź szczegóły.

[unn4m3nd]

Znalazłem coś że przy średniej odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma}\) dzielimy przez pierwiastek z k
czyli zamiast \(\displaystyle{ N(-1, 3)}\) będzie \(\displaystyle{ N(-1, \frac{3}{4})}\) i dalej liczymy jak powyżej.

Mógłby ktoś to potwierdzić?

[Premislav]

Średnia nie powinna mieć takiego samego rozkładu (chyba ze chodzi o to jedynie, że również ma normalny).
Jeśli drugi parametr to odchylenie standardowe, to masz dobry rozkład średniej:
\(\displaystyle{ \mathcal{N}\left(-1, \frac 3 4 \right)}\)

[unn4m3nd]

Ok, dzięki wielkie! A to poprzednie dobrze zrobiłem? (oraz są 2 rodzaje tablic z rozkładem normalnym, z jakich korzystać do tego zadania?)

[Premislav]

A czym jest \(\displaystyle{ F}\) w Twoim rozwiązaniu? Tj. dystrybuanta jakiego rozkładu? Bo nie do końca rozumiem.
Ja to widzę tak:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\left| X_{k}\right|>2 \right)=\mathbf{P}(X_{k} \in (-\infty, -2)\cup(2,+\infty))=\mathbf{P}\left( \frac{X_{k}+1}{ \frac{3}{4} }\in \left(-\infty, -\frac 4 3 \right)\cup (4,+\infty) \right)=\Phi \left(- \frac{4}{3} \right)+\Phi(-4)}\)
(\(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego)
i teraz tablice standardowego rozkładu normalnego (\(\displaystyle{ 4/3\approx 1,33}\); nie wiem z których korzystać, nie wiedziałem, że są różne).
A zadanie ze średnią podobnie jakoś, skoro wiesz już, jaki rozkład ma sama średnia, to dalej nietrudne.

[unn4m3nd]

\(\displaystyle{ = \Phi \left(- \frac{4}{3} \right)+\Phi(-4) = 1 - \Phi \left(\frac{4}{3} \right)+ 1 - \Phi(4) = ...}\)
?

Co do tablic to daję przykłady dwóch różnych:
1. ... da3671.htm
2. ... u-norm.png

Zadanie ze średnią to coś takiego?
\(\displaystyle{ P\left( \left| \overline{X} \right| > 2 \right) = 1- P\left( \left| \overline{X} \right| \le 2 \right) = 1 - P(U \le \frac{2+1}{ \frac{3}{4} }) = 1 - \Phi (4) = ...}\)

[szw1710]

Znów nie rozumiesz, na czym polega nierówność modułowa.

[unn4m3nd]

jednak nie wiem skąd się wzięło to:
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left( \frac{X_{k}+1}{ \frac{3}{4} }\in \left(-\infty, -\frac 4 3 \right)\cup (4,+\infty) \right)}\)
skoro tu nie ma średniej tylko normalne zmienne dyskretne to skąd to \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\), nie mówiąc już o tym przedziale?

PS. dalej nie dowiedziałem sie co z tymi tablicami?

[Premislav]

Jakie "normalne zmienne dyskretne"? Rozkład normalny jest (absolutnie) ciągły.
Zastosowałem następujący fakt: jeśli zmienna losowa \(\displaystyle{ X}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \mathcal{N}(\mu,\sigma)}\), to
\(\displaystyle{ \frac{X-\mu}{\sigma}}\) ma standardowy rozkład normalny. Reszta to przekształcenia algebraiczne.

[unn4m3nd]

skoro zastosowałeś ten wzór \(\displaystyle{ \frac{X-\mu}{\sigma}}\) to \(\displaystyle{ \sigma}\) powinna sie równać 3 a nie \(\displaystyle{ \frac{3}{4}}\)

[Premislav]

No tak, przepraszam, ja rozwiązywalem drugie zamiast pierwszego. Powinno być
\(\displaystyle{ \mathbf{P}\left(\left| X_{k}\right|>2 \right)=\mathbf{P}(X_{k} \in (-\infty, -2)\cup(2,+\infty))=\mathbf{P}\left( \frac{X_{k}+1}{ 3}\in \left(-\infty, -\frac 1 3 \right)\cup (1,+\infty) \right)=\Phi \left(- \frac{1}{3} \right)+\Phi(-1)}\)
(\(\displaystyle{ \Phi}\) to dystrybuanta standardowego rozkładu normalnego)