Prosta nierówność

Milczek · Post autor: **Milczek** » 24 gru 2015, o 10:27

Moi drodzy. Czy tą nierówność dla \(\displaystyle{ a,b \in R}\) da radę udowodnić jakoś z ciągów jednakowo monotonicznych?
\(\displaystyle{ a^n+b^n \ge a^{n-1}b+b^{n-1}a}\). Przy odpowiednich założeniach o \(\displaystyle{ a,b}\)tak ale mnie interesuje powyższe założenie. Nie wiem jakie dać założenie o \(\displaystyle{ n}\) aby nierówność była jak najbardziej ogólna.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 24 gru 2015, o 10:46

Nierówność nie zachodzi dla wszystkich \(\displaystyle{ a,b\in\RR}\) oraz \(\displaystyle{ n\in\NN}\). Np. \(\displaystyle{ n=3,a=-1,b=0}\).

Sensowne założenie to \(\displaystyle{ a,b\ge 0}\). Wtedy dałoby się to zrobić z użyciem funkcji wypukłych. Albo za pomocą własności funkcji \(\displaystyle{ f(x)=x+\frac{1}{x}}\) i wtedy wystarczyłoby, żeby \(\displaystyle{ a,b}\) były identycznych znaków.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 24 gru 2015, o 10:47

Natomiast dla dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) ciągi jednakowo monotoniczne oczywiście są własciwym narzędziem.

Również dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych i dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b}\)

Post autor: **Ponewor** » 24 gru 2015, o 16:38

Oczywiście najlepiej wyłączyć \(\displaystyle{ a-b}\) przed nawias.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 24 gru 2015, o 21:55

Ponewor pisze:Oczywiście najlepiej wyłączyć \(\displaystyle{ a-b}\) przed nawias.

co sprowadza zadanie do tego samego: pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) i \(\displaystyle{ (a^{n-1},b^{n-1})}\) maja być tak samo uporządkowane. A to prowadzi do wniosku jak wyżej... (argument jest ważny dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ n\geq 1}\)

Post autor: **Ponewor** » 25 gru 2015, o 02:26

Sprowadza się, miałem na myśli jedynie tyle, że zużywa najmniej mądrych słów.

a4karo · Post autor: **a4karo** » 25 gru 2015, o 14:04

Ponewor pisze:Sprowadza się, miałem na myśli jedynie tyle, że zużywa najmniej mądrych słów.

Niby tak, ale jak przeczytasz pierwszy post, to zauważysz, że autor nie pytał jak udowodnić, tylko czy da sie to zrobić przy pomocy twierdzenie o ciągach monotonicznych

Milczek · Post autor: **Milczek** » 27 gru 2015, o 17:22

Dzięki wielkie , święta były to nie wchodziłem.

a4karo pisze:
Ponewor pisze:Oczywiście najlepiej wyłączyć \(\displaystyle{ a-b}\) przed nawias.
co sprowadza zadanie do tego samego: pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) i \(\displaystyle{ (a^{n-1},b^{n-1})}\) maja być tak samo uporządkowane. A to prowadzi do wniosku jak wyżej... (argument jest ważny dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ n\geq 1}\)

Do tego właśnie doszedłem.

A Jensena i wypukłości funkcji jeszcze się nie uczyłem ale ogarnę. Widzę że mocne narzędzie.