Jak czytać i interpretować poszczególne wyrażenia w równaniu

[FantaZy]

Jeśli pomyliłem dział to proszę o przeniesienie, bo nie byłem pewien gdzie zadać to pytanie.

Aktualnie na zajęciach z metod numerycznych używamy szeregu Taylora do wyprowadzania różnych metod aproksymacji. Chciałem jednak uporządkować bardzo podstawową wiedzę.
Powiedzmy, że mam takie równanie:
\(\displaystyle{ f(x+\Delta x) = f(x) - \Delta x \cdot \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{(\Delta x)^2}{2!}\cdot \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{(\Delta x)^3}{3!}\cdot \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}+...}\)

Wiem, że coś takiego:
\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x}}\) to po prostu \(\displaystyle{ x'}\) - pochodna z x
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}}\) tutaj mając funkcję \(\displaystyle{ f}\) bierzemy pierwsza pochodną z wszystkich wyrażeń które są w tej funkcji, przy których stoi \(\displaystyle{ x}\), a resztę wyrażeń pomijamy.

Nie jestem teraz pewien co dokładnie dzieje się w takim przypadku:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}}\) czy chodzi o to, że po prostu bierzemy pochodną drugiego rzędu(robimy pochodną dwa razy) dla każdego wyrażenia w funkcji \(\displaystyle{ f}\) przy którym stoi \(\displaystyle{ x}\)? tylko pytanie co oznacza ta druga potęga przy \(\displaystyle{ x}\) w mianowniku? Jak mam sobie to czytać i rozumieć?

Dodatkowo, co w przypadku takiego zapisu: \(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial^2 x^2}}\) jeśli jest on oczywiście poprawny(jak czytać i interpretować)?

Jeśli ktoś miałby odnośnik do jakiegoś materiału, który tłumaczy to jak dla laika to chętnie przeczytam.

[a4karo]

Symbol \(\displaystyle{ \frac{\partial^k f}{\partial x^k}}\) stosuje sie zwyczajowo gdy mowa o funkcji wielu zmiennych. Dla funkcji jednej zmiennej uzywa się oznaczenia \(\displaystyle{ \frac{d^k f}{d x^k}}\).

Czyta sie toto "d k \(\displaystyle{ f}\) po d\(\displaystyle{ x}\) do k-tej" itp i oznacza po prostu \(\displaystyle{ k}\)-ta pochodną.